Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước một.

### Bài 1

**a)** Chứng minh \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\)

- **Đề bài:** Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (với \(AB < AC\)). Tia phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\), và kẻ \(DE\) vuông góc với \(BC\) tại \(E\).

- **Chứng minh:**
1. **Xét góc:** Ta có \(\angle ADB = \angle EDB\) vì \(AD\) là tia phân giác của góc \(ABC\).
2. **Độ dài:** Ta có \(AB = EB\) (cùng là cạnh của tam giác vuông \(ABE\)).
3. **Cạnh huyền:** Cả \(D\) và \(E\) đều nằm trên \(BC\), do đó \(BD\) và \(BE\) cũng bằng nhau.

Từ đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (KCC), ta có \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\).

**b)** Gọi \(M\) là giao điểm của \(AB\) và \(DE\). Chứng minh \(DM = DC\); và chứng minh \(BD\) là đường trung trực của \(MC\).

- **Chứng minh:**
1. **Cùng góc:** Từ chứng minh trên, ta có \(\angle ADM = \angle EDB\).
2. **Cạnh:** Theo định nghĩa, \(DE\) vuông góc với \(BC\), từ đó \(DM = DC\).
3. **Đường trung trực:** Từ \(BD\) là đường trung trực của đoạn \(MC\) vì nó chia đôi \(MC\) tại điểm \(M\).

### Bài 2

Cho tam giác \(GHK\) có \(GH > GK\), tia phân giác của góc \(G\) cắt cạnh \(HK\) tại \(M\). Gọi \(N\) là điểm nằm giữa \(G\) và \(M\). Chứng minh \(GH - GK > NH - NK\).

- **Chứng minh:**
1. **Sử dụng định lý về tia phân giác:** Theo định lý tia phân giác, ta có tỉ lệ \(\frac{GH}{GK} = \frac{HM}{MK}\).
2. **Suy luận:** Từ điều kiện \(GH > GK\), có thể suy ra rằng \(NH < GK\) và \(NK < GH\).

Kết hợp các yếu tố trên, ta có thể xác định được rằng \(GH - GK > NH - NK\).

Hy vọng điều này sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu và giải bài toán này!