Chúng ta sẽ giải bài toán này từng phần.

### a) Chứng minh rằng \(\angle BAD = \angle BMD\)

Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng định nghĩa về đường phân giác. Vì \(BD\) là đường phân giác của góc \(ABC\), ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Đồng thời, vì \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), ta có \(BM = MC\).

Cùng với điều kiện \(BC = 2AB\), ta sẽ thiết lập các tỉ lệ liên quan đến các cạnh. Qua đó, có thể sử dụng định lý về các góc tương ứng trong tam giác để chỉ ra rằng hai góc này bằng nhau.

### b) Hai tia \(BA\) và \(MD\) cắt nhau tại điểm \(E\). Tia \(BD\) cắt đoạn thẳng \(EC\) tại điểm \(N\).

Khi \(BA\) và \(MD\) cắt nhau tại \(E\), chúng ta có thể sử dụng hệ thức tỉ lệ trong tam giác để chỉ ra rằng các đoạn thẳng trong tam giác \(BAE\) và \(BME\) liên quan với nhau như thế nào.

Khi tia \(BD\) cắt đoạn thẳng \(EC\) tại \(N\), có thể áp dụng định lý Menelaus trên tam giác \(BEC\) với đường thẳng \(BD\) cắt để rút ra được tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.

### c) Tính tỉ số \(\frac{BD}{DN}\)

Để tính được tỉ số này, ta cần sử dụng các điểm mà ta đã xác định và khả năng áp dụng định lý Menelaus trong tam giác \(BEC\).

Áp dụng định lý Menelaus, ta có:

\[
\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{AN}{NC} = 1
\]

Từ đây, bạn sẽ có thể tính được tỉ số \(\frac{BD}{DN}\) dựa trên những tỉ lệ đã tìm được trong bước trước.

Nếu cần thêm thông tin hoặc từng bước chi tiết hơn, đừng ngần ngại hỏi!