Để chứng minh các biểu thức \( D \) và \( E \) luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến, ta tiến hành phân tích từng biểu thức một.

### a) \( D = -x^2 - 2x - 6 \)

1. **Xét hệ số của \( x^2 \)**: Hệ số của \( x^2 \) là \(-1\), nên đồ thị là một parabol có hướng ngược (hướng xuống).

2. **Xác định đỉnh của parabol**: Đỉnh của parabol có toạ độ \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = 1 \).

3. **Tính giá trị tại đỉnh**:
\[
D(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) - 6 = -1 + 2 - 6 = -5
\]
Giá trị của \( D \) tại đỉnh là \(-5\).

4. **Kết luận**: Vì parabol hướng xuống và giá trị lớn nhất tại đỉnh (ở \( x = -1 \)) cũng âm, nên với mọi giá trị của \( x \), \( D < 0 \).

### b) \( E = -2x^2 + 4x - 15 \)

1. **Xét hệ số của \( x^2 \)**: Hệ số của \( x^2 \) là \(-2\), do đó đồ thị là parabol hướng xuống.

2. **Xác định đỉnh của parabol**: Tọa độ đỉnh là \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -2} = 1 \).

3. **Tính giá trị tại đỉnh**:
\[
E(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 15 = -2 + 4 - 15 = -13
\]
Giá trị tại đỉnh là \(-13\).

4. **Kết luận**: Vì parabol có hướng xuống và giá trị tại đỉnh âm, nên với mọi giá trị của \( x \), \( E < 0 \).

### Tổng kết

- Biểu thức \( D \) và \( E \) luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến.