Vật sáng AB hình mũi tên đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ có tiêu cự 20cm, cho ảnh rõ nét trên màn đặt cách vật một khoảng L. Xác định khoảng cách ngắn nhất của L

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức thấu kính hội tụ:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{v}} + \frac{1}{d_{a}}
\]

Trong đó:
- \( f \) là tiêu cự của thấu kính (20 cm trong bài toán này).
- \( d_{v} \) là khoảng cách từ vật đến thấu kính.
- \( d_{a} \) là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh.

### a) Xác định khoảng cách ngắn nhất của L

Về nguyên tắc, ta có:

\[
L = d_{v} + d_{a}
\]

Từ công thức thấu kính, ta có thể biểu diễn \( d_{a} \) theo \( d_{v} \):

\[
d_{a} = \frac{f \cdot d_{v}}{d_{v} - f}
\]

Thay \( d_{a} \) vào phương trình \( L \):

\[
L = d_{v} + \frac{f \cdot d_{v}}{d_{v} - f}
\]

Lập trình này sẽ giải cho \( d_{v} \) sao cho \( L \) nhỏ nhất. Để làm điều này, trước hết ta cần có một biểu thức cho \( L \):

\[
L = d_{v} + \frac{20 \cdot d_{v}}{d_{v} - 20}
\]
\[
L = d_{v} + \frac{20 d_{v}}{d_{v} - 20}
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( L \), chúng ta cần đạo hàm theo \( d_{v} \) và đặt bằng 0:

\[
\frac{dL}{dd_{v}} = 1 + \frac{20(d_{v} - 20) - 20d_{v}}{(d_{v} - 20)^{2}} = 0
\]
\[
\frac{dL}{dd_{v}} = 1 - \frac{400}{(d_{v} - 20)^{2}} = 0
\]

Hệ phương trình này cho ta:

\[
(d_{v} - 20)^{2} = 400
\]
\[
d_{v} - 20 = 20 \quad \text{hoặc} \quad d_{v} - 20 = -20
\]
\[
d_{v} = 40 \text{ cm (giá trị dương)}
\]

Khi \( d_{v} = 40 \) cm, từ đó tìm \( d_{a} \):

\[
d_{a} = L - d_{v} = L - 40
\]

Thay vào công thức thấu kính để tìm \( L \):

\[
L = d_{v} + d_{a} = 40 + \frac{20 \cdot 40}{20} = 40 + 40 = 80 \text{ cm}
\]

### b) Xác định các vị trí của thấu kính khi \( L = 90 \) cm

Khi \( L = 90 \):

\[
d_{a} = L - d_{v} = 90 - d_{v}
\]

Thay vào công thức thấu kính:

\[
\frac{1}{20} = \frac{1}{d_{v}} + \frac{1}{90 - d_{v}}
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{1}{20} = \frac{(90 - d_{v}) + d_{v}}{d_{v} (90 - d_{v})}
\]
\[
\frac{1}{20} = \frac{90}{d_{v}(90 - d_{v})}
\]

Bằng cách nhân chéo:

\[
d_{v}(90 - d_{v}) = 1800
\]
\[
90d_{v} - d_{v}^2 - 1800 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
d_{v}^2 - 90d_{v} + 1800 = 0
\]

Độ lớn của delta:

\[
\Delta = 90^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1800 = 8100 - 7200 = 900
\]
\[
d_{v} = \frac{90 \pm 30}{2} = \{60, 30\}
\]

### So sánh độ phóng đại

Tính độ phóng đại \( k \) bằng cách sử dụng công thức:

\[
k = -\frac{d_{a}}{d_{v}}
\]

Khi \( d_{v} = 30 \):
\[
d_{a} = 90 - 30 = 60 \quad k = -\frac{60}{30} = -2
\]

Khi \( d_{v} = 60 \):
\[
d_{a} = 90 - 60 = 30 \quad k = -\frac{30}{60} = -0.5
\]

**Kết luận**:

- Khoảng cách ngắn nhất \( L \) là 80 cm.
- Khi \( L = 90 \) cm, hai vị trí thấu kính là \( d_{v} = 30 \) và \( d_{v} = 60 \) cm, với độ phóng đại của ảnh lần lượt là \( -2 \) và \( -0.5 \).