Rút gọn biểu thức

Để rút gọn các biểu thức đã cho, ta sẽ thực hiện từng bước cụ thể như sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( E = (2x+3)^2 - 2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)^2 \)

1. Tính từng phần trong biểu thức:
- \( (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 \)
- \( (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25 \)
- \( 2(2x + 3)(2x + 5) = 2((2x)(2x) + (2x)(5) + (3)(2x) + (3)(5)) = 2(4x^2 + 10x + 6x + 15) = 2(4x^2 + 16x + 15) = 8x^2 + 32x + 30 \)

2. Thay vào biểu thức:
\[
E = (4x^2 + 12x + 9) - (8x^2 + 32x + 30) + (4x^2 + 20x + 25)
\]

3. Kết hợp các hạng tử lại:
\[
E = 4x^2 + 12x + 9 - 8x^2 - 32x - 30 + 4x^2 + 20x + 25
\]

4. Cộng các hệ số cho \( x^2 \) và \( x \) và các hằng số:
- Hệ số \( x^2 \): \( 4 - 8 + 4 = 0 \)
- Hệ số \( x \): \( 12 - 32 + 20 = 0 \)
- Hằng số: \( 9 - 30 + 25 = 4 \)

Vậy rút gọn biểu thức \( E \):
\[
E = 4
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( F = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 - 1) \)

1. Nhận xét rằng \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) nên ta có:
\[
F = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)(x + 1)
\]

2. Tính \( (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \):
- Sử dụng phân thức:
\[
(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = x^4 + (1 - 1)x^2 + 1 = x^4 + 1
\]

3. Vậy \( F \) trở thành:
\[
F = (x^4 + 1)(x - 1)(x + 1)
\]

4. Tính \( (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \), do đó:
\[
F = (x^4 + 1)(x^2 - 1)
\]
\[
= (x^4 + 1)(x^2 - 1) = x^4 \cdot x^2 - x^4 + 1 \cdot x^2 - 1
\]
\[
= x^6 - x^4 + x^2 - 1
\]

Như vậy, rút gọn biểu thức \( F \):
\[
F = x^6 - x^4 + x^2 - 1
\]

#### Kết luận:
- a) \( E = 4 \)
- b) \( F = x^6 - x^4 + x^2 - 1 \)