Để giải phương trình:

\[
x - \frac{2}{4} = \frac{2(x + 1)}{5} - \frac{2x + 5}{10}
\]

trước hết, hãy đơn giản hóa các phần trong phương trình.

Ta biết rằng \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), vậy ta có thể viết lại phương trình:

\[
x - \frac{1}{2} = \frac{2(x + 1)}{5} - \frac{2x + 5}{10}
\]

Bây giờ, ta sẽ tính toán phần bên phải của phương trình. Để thực hiện phép trừ giữa hai phân số, ta cần một mẫu số chung. Mẫu số chung giữa 5 và 10 là 10, vì vậy:

\[
\frac{2(x + 1)}{5} = \frac{4(x + 1)}{10}
\]

Do đó, phương trình bây giờ trở thành:

\[
x - \frac{1}{2} = \frac{4(x + 1)}{10} - \frac{2x + 5}{10}
\]

Bây giờ, ta có thể kết hợp các phân số bên phải lại:

\[
x - \frac{1}{2} = \frac{4(x + 1) - (2x + 5)}{10}
\]

Tính toán trong dấu ngoặc:

\[
4(x + 1) - (2x + 5) = 4x + 4 - 2x - 5 = 2x - 1
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x - \frac{1}{2} = \frac{2x - 1}{10}
\]

Tiếp theo, ta sẽ nhân cả hai bên của phương trình với 10 để loại bỏ mẫu số:

\[
10 \left( x - \frac{1}{2} \right) = 2x - 1
\]

Giải phương trình bên trái:

\[
10x - 5 = 2x - 1
\]

Bây giờ, chuyển tất cả các hạng tử liên quan đến x về một bên và các hạng tử số về một bên:

\[
10x - 2x = -1 + 5
\]

Giải:

\[
8x = 4
\]

Chia cả hai bên cho 8:

\[
x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]