Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng tứ giác \( AHDK \) là hình vuông.

1. **Xét tam giác \( AHC \) và \( AHB \)**:
- Do \( AD \) là tia phân giác của góc \( BAC \), ta có \( \angle BAD = \angle CAD \).
- Theo định lý sin, ta có tỉ số giữa các cạnh đối diện với góc \( \angle BAD \) và góc \( \angle CAD \):
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}
\]
- Lại có \( AB > AC \) nên \( BD > CD \).

2. **Xét \( H \) là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \)**:
- Bởi vì \( D \) nằm trên đường trung trực của \( BC \), nên \( DB = DC \).

3. **Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHD \)**:
- \( AH \perp BC \) và \( AD \) là nối liền giữa hai chân đường cao, nên:
\[
AH^2 + HD^2 = AD^2
\]

4. **Chứng minh các góc**:
- \( \angle AHD = 90^\circ \) bởi vì \( AH \perp BC \).
- \( HD = AD \) do \( D \) nằm trên đường trung trực.
- Do đó, \( \angle AHD + \angle HDA = 90^\circ + \angle HDA = 180^\circ \), suy ra tứ giác \( AHDK \) có góc vuông ở \( A \) và \( D \).

5. **Chứng minh \( AHDK \) là hình vuông**:
- Do các cạnh \( AD \) và \( AH \) đều bằng nhau (vì tất cả các hình chiếu và tiếp tuyến từ điểm lên đường tròn đều bằng nhau), ta có \( AHDK \) là tứ giác có tất cả các góc vuông và bốn cạnh bằng nhau ⇒ \( AHDK \) là hình vuông.

### b) Chứng minh \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn.

1. **Sử dụng yếu tố đối xứng**:
- Khi \( D \) nằm trên đường trung trực của \( BC \), theo định nghĩa, \( B \) và \( C \) đều nằm trên một đường tròn với tâm tại \( D \).

2. **Xét tứ giác \( ABDC \)**:
- Tứ giác \( ABCD \) có các cặp cạnh đối diện: \( AB \) và \( CD \), \( AD \) và \( BC \).
- Sử dụng định lý tứ giác: nếu tổng diện tích các góc đối diện bằng nhau thì bốn điểm này nằm trên cùng một đường tròn.

3. **Áp dụng tính chất chu vi và các góc**:
- Tổng diện tích của \( \angle ACB + \angle ADB = 180^\circ \).
- Từ đó, \( A, B, C, D \) cùng nằm trên một đường tròn.

Cuối cùng, ta đã chứng minh được cả hai phần bài toán yêu cầu.