Để tính tổng \( S = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 70^\circ + \sin^2 80^\circ \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hàm sin.

Có mối quan hệ:

\[
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
\]

Áp dụng công thức này, ta có:

\[
S = \frac{1}{2} \left( 8 - \left( \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ \right) \right)
\]

Chúng ta biết rằng \( \cos(100^\circ) = -\cos(80^\circ) \), \( \cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) \), và \( \cos(140^\circ) = -\cos(40^\circ) \), và \( \cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) \). Do đó, nhóm lại ta có:

\[
\cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0, \quad \cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 0, \quad \cos 60^\circ + \cos 120^\circ = 0, \quad \cos 80^\circ + \cos 100^\circ = 0
\]

Vậy tổng này bằng **0**. Do đó, ta có:

\[
S = \frac{1}{2} \left( 8 - 0 \right) = \frac{8}{2} = 4
\]

Vậy giá trị biểu thức \( \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 70^\circ + \sin^2 80^\circ = 4 \).