Để chứng minh hai bất đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và một số thao tác đại số.

### a) Chứng minh \( a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \)

Bất đẳng thức này có thể được chứng minh như sau:

1. Ta đặt \( x = a - b \), \( y = b - c \), và \( z = c - a \). Khi đó, ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - (ab + ac + bc) = \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) \geq 0
\]

2. Vì mọi bình phương đều không âm, nên bất đẳng thức \( a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc \) là đúng.

### b) Chứng minh \( a^2 + b^2 + c^2 + 3 > 2(a + b + c) \)

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta có thể làm như sau:

1. Ta có thể biến đổi biểu thức như sau:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2a - 2b - 2c > 0
\]

hay

\[
a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c + 3 > 0
\]

2. Các biểu thức \( a^2 - 2a \), \( b^2 - 2b \), \( c^2 - 2c \) có thể viết lại thành bình phương:

\[
a^2 - 2a = (a - 1)^2 - 1
\]
\[
b^2 - 2b = (b - 1)^2 - 1
\]
\[
c^2 - 2c = (c - 1)^2 - 1
\]

3. Thay vào ta được:

\[
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 + 3 - 3 > 0
\]

4. Vậy ta có:

\[
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 > 0
\]

Mà vì \( (a-1)^2 \), \( (b-1)^2 \), \( (c-1)^2 \) luôn không âm và chỉ bằng 0 khi \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = 1 \), do đó:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + 3 > 2(a + b + c)
\]

Vậy ta đã chứng minh xong cả hai bất đẳng thức!