Để chứng minh các kết quả trong bài toán đã cho, ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu của bài toán.

**a) Chứng minh: tam giác BDC, tam giác BEC là các tam giác vuông.**

- Xét tam giác BDC. Theo định nghĩa về đường tròn, D là giao điểm của đường tròn tâm O đường kính BC với AB, tức là AD là một đường kính của đường tròn tâm O. Từ đó, ta có góc BDC = 90° (theo tính chất của góc tạo bởi đường kính trong một đường tròn).

- Tương tự, đối với tam giác BEC, E là giao điểm của đường tròn theo đường kính BC với AC, vì vậy BE cũng là một đường kính của đường tròn tâm O. Do đó, góc BEC = 90°.

Vậy tam giác BDC và tam giác BEC đều là tam giác vuông.

**b) Chứng minh AH vuông góc với BC tại F.**

- Ta có H là giao điểm của BE và CD.
- Ta đã chứng minh rằng cả góc BDC và góc BEC đều bằng 90°.
- Do đó, các đường thẳng BE và CD lần lượt vuông góc với BC tại D và E.
- Từ đó, H là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD, nên AH là đường vuông góc với BC tại H.

Vậy AH vuông góc với BC tại F, mà F là giao điểm của AH và BC.

**c) Chứng minh 4 điểm A, D, F, C cùng thuộc một đường tròn.**

- Ta sẽ áp dụng định lý 4 điểm cùng thuộc một đường tròn: Đối với hai điểm A và C, nếu góc ADF và góc ACF đều là góc vuông, thì A, D, F, C cùng thuộc một đường tròn.
- Ta đã chứng minh rằng góc ADC = 90° (từ chứng minh a) và góc ACF = 90° (góc F là giao điểm của đường vuông góc).
- Do đó, A, D, F, C cùng nằm trên một đường tròn.

**d) Chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.**

- Áp dụng tương tự như phần trước, ta cần chứng minh rằng góc ADH và góc AEH đều là góc vuông.
- Ta đã chứng minh rằng góc BDC = 90° (tại D) và góc BEC = 90° (tại E).
- Vì H là giao điểm của BE và CD, góc ADH = 90° và AEH = 90°, do đó A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

Tóm lại, ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán.