Để chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng định nghĩa hình chữ nhật và áp dụng các tính chất của tam giác vuông cân.

Giả sử tam giác ABC vuông cân tại C, tức là AB = AC = BC. Gọi độ dài của các cạnh AB, AC, BC là \( a \).

1. **Xác định vị trí các điểm P và Q**:
- Điểm P nằm trên cạnh AC, do đó ta có \( AP = x \), với \( x < a \).
- Điểm Q nằm trên cạnh BC, với \( CQ = x \).
- Vậy \( AQ = AC - CQ = a - x \).

2. **Vẽ đường thẳng PM**:
- Giả sử M là một điểm thuộc đường thẳng AB, và theo đề bài, ta có PM // BC.

3. **Tính chất song song**:
- Vì PM // BC, nên góc \( PML = CBA \) (góc đồng vị) và góc \( PML = CMB \) (góc so le trong). Vậy, ta có được các góc tương ứng tại các điểm P, Q, M liên quan đến các cạnh.

4. **Xác định các góc của tứ giác PCQM**:
- Góc \( PCQ \) là góc vuông (vì PC là cạnh đứng và CQ là cạnh nằm ngang, thuộc về tam giác vuông).
- Góc \( PQR \) cũng sẽ vuông (từ đường nối PM đến BC, theo tính chất của tam giác vuông và phản chiếu).

5. **Hình dạng tứ giác PCQM**:
- Do góc \( PCQ \) và góc \( PQR \) đều có 90 độ, với các cạnh song song PM và BC, ta có tứ giác PCQM có hai cặp cạnh đối song song và hai góc vuông.

6. **Kết luận**:
- Từ các tính chất trên, không chỉ có hai góc vuông mà còn các cạnh đối song song (PM // BC). Vậy, tứ giác PCQM thỏa mãn định nghĩa của hình chữ nhật (có 4 góc vuông và hai cặp cạnh đối song song).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác PCQM là hình chữ nhật.