Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh rằng tứ giác MBND là hình bình hành.

**Chứng minh:**

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a + b, h) \), \( D(b, h) \) là toạ độ của các đỉnh hình bình hành ABCD.
- Điểm M là trung điểm của AD, nên:
\[
M\left(\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
- Điểm N là trung điểm của BC, nên:
\[
N\left(\frac{a + (a + b)}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(a + \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

2. **Xét các cạnh MB và ND:**
- Tính vector MB:
\[
\text{MB} = B - M = \left(a - \frac{b}{2}, 0 - \frac{h}{2}\right) = \left(a - \frac{b}{2}, -\frac{h}{2}\right)
\]
- Tính vector ND:
\[
\text{ND} = D - N = \left(b - (a + \frac{b}{2}), h - \frac{h}{2}\right) = \left(b - a - \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{b}{2} - a, \frac{h}{2}\right)
\]

3. **So sánh độ dài và hướng (đồng hướng):**
- Nhận thấy rằng MB và ND có cùng độ dài, hướng đối nghịch, nên MB // ND.
- Tương tự, có thể chứng minh rằng MN // BD và MD // BN.

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành.

### b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.

**Chứng minh:**

1. **Xác định giao điểm O:**
- Gọi O là giao điểm của đường chéo AC và BD.
- Theo tính chất của hình bình hành, O chính là trung điểm của cả hai đường chéo.

2. **Tính toạ độ điểm O:**
- Toạ độ điểm O sẽ là:
\[
O\left(\frac{0 + (a + b)}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(\frac{a + b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

3. **Kiểm tra tính thẳng hàng của M, O, N:**
- Tính các vector:
- MO:
\[
MO = O - M = \left(\frac{a + b}{2} - \frac{b}{2}, \frac{h}{2} - \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- ON:
\[
ON = N - O = \left(a + \frac{b}{2} - \frac{a + b}{2}, \frac{h}{2} - \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

Như vậy, MQ = OA và hướng của MO và ON là giống nhau. Vậy M, O, N thẳng hàng.

### Kết luận:
a) Tứ giác MBND là hình bình hành.
b) Ba điểm M, O, N thẳng hàng.