Phương trình \( x^2 - 2y^2 = 1 \) là một phương trình Pell. Để tìm nghiệm nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm nghiệm cho các phương trình Pell.

Phương trình ở dạng tổng quát là \( x^2 - Dy^2 = N \), với \( D = 2 \) và \( N = 1 \).

Nghiệm cơ bản của phương trình này là \( (x_0, y_0) = (3, 2) \). Các nghiệm tiếp theo của phương trình này có thể được tính bằng công thức:

\[
x_{n+1} = 3x_n + 4y_n
\]
\[
y_{n+1} = 2x_n + 3y_n
\]

Chúng ta có thể tính nghiệm tiếp theo như sau:

1. Nghiệm đầu tiên: \( (x_0, y_0) = (3, 2) \)
2. Nghiệm thứ hai:
\[
x_1 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17
\]
\[
y_1 = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12
\]
Vậy \( (x_1, y_1) = (17, 12) \)

3. Nghiệm thứ ba:
\[
x_2 = 3 \cdot 17 + 4 \cdot 12 = 51 + 48 = 99
\]
\[
y_2 = 2 \cdot 17 + 3 \cdot 12 = 34 + 36 = 70
\]
Vậy \( (x_2, y_2) = (99, 70) \)

4. Tương tự, ta có thể tiếp tục tính nghiệm cho đến khi đạt được các giá trị cần thiết.

Các nghiệm nguyên \( (x, y) \) của phương trình \( x^2 - 2y^2 = 1 \) bao gồm:

- \( (1, 0) \)
- \( (3, 2) \)
- \( (17, 12) \)
- \( (99, 70) \)
- Và các nghiệm đối diện \( (-1, 0) \), \( (-3, -2) \), \( (-17, -12) \), \( (-99, -70) \)

Vì vậy, các nghiệm nguyên của phương trình \( x^2 - 2y^2 = 1 \) thuộc tập hợp \( \mathbb{Z} \) là:
\[
(1,0), (3,2), (17, 12), (99, 70), (-1, 0), (-3, -2), (-17, -12), (-99, -70)
\]