Cho ΔABC vuông tại A, đường tròn O nội tiếp có bán kính r

Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của đường thẳng \( d \) đi qua \( O \) và cắt các cạnh \( AB \) và \( AC \) tại \( M \) và \( N \) sao cho diện tích của tam giác \( AMN \) là nhỏ nhất.

### Bước 1: Kết quả cần tìm kiếm
Diện tích của tam giác \( AMN \) có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle MAN)
\]

### Bước 2: Tính toán diện tích
Do \( ΔABC \) vuông tại \( A \), ta có:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)

Vị trí của \( O \) là giao điểm của đường cao \( AH \), nên ta có được các đoạn cần thiết để tính diện tích. Theo định lý về điểm nội tiếp, bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp có thể tính bằng:
\[
r = \frac{S}{p}
\]
với \( S \) là diện tích của tam giác và \( p \) là nửa chu vi.

### Bước 3: Tìm điều kiện tối ưu
Để diện tích \( S \) nhỏ nhất, \( d \) cần phải đi qua \( O \) và tạo thành một góc vuông với cạnh còn lại (của tam giác vuông), và với các đoạn thẳng \( AM \) và \( AN \) là cạnh huyền.

### Bước 4: Áp dụng đạo hàm
Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị tối thiểu của \( S \):
\[
\text{Tìm } \frac{dS}{dx} = 0
\]
giúp xác định điều kiện cần thiết.

### Kết luận
Khi \( d \) vuông góc với cạnh \( BC \), ta suy ra rằng tam giác \( AMN \) sẽ có diện tích nhỏ nhất.

Diện tích nhỏ nhất trong trường hợp này sẽ nâng cao tính tối ưu của đoạn \( MN \) dưới sự giới hạn của bán kính \( r \) và điểm \( O \).

Do đó, diện tích tam giác \( AMN \) nhỏ nhất sẽ đạt được khi \( d \) tạo một góc vuông với cạnh đối diện, và tiêu chí này cho phép chúng ta dễ dàng tính toán từ tọa độ của các điểm trong tam giác vuông.