Để chứng minh tam giác
ABC đều, ta sử dụng định lý về tỉ số giữa các đoạn thẳng do các đường cao tạo ra.
Cho tam giác nhọn
ABC với
AH,BH,CH lần lượt là độ dài của các đoạn thẳng từ
H đến các đỉnh. Theo giả thiết, ta có:
AHBC=BHCA=CHAB
Gọi
k=AHBC=BHCA=CHAB.
Từ đó, ta có thể viết lại các tỉ lệ như sau:
AH=k⋅BC
BH=k⋅CA
CH=k⋅AB
Ta biết rằng tổng độ dài ba đoạn thẳng
AH+BH+CH=AH+BH+CH.
Thay vào công thức tổng, ta có:
k⋅BC+k⋅CA+k⋅AB=k⋅(BC+CA+AB)
Hơn nữa, với
H là giao điểm của ba đường cao, ta sẽ thấy rằng:
- Để tam giác đều, thì các đoạn cao từ các đỉnh chia đều tam giác thành 3 phần bằng nhau.
- Do đó, hệ số
k phải bằng nhau, đảm bảo rằng cả ba cạnh đều có chiều dài tương đương.
Dựa vào những tỉ số bằng nhau
k, ta có thể kết luận rằng
AB=BC=CA, tức là tam giác
ABC đều.
Vậy ta đã chứng minh rằng tam giác
ABC là tam giác đều.