Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AD, BE, CE cắt nhau tại H. Biết rằng

Để chứng minh tam giác \( ABC \) đều, ta sử dụng định lý về tỉ số giữa các đoạn thẳng do các đường cao tạo ra.

Cho tam giác nhọn \( ABC \) với \( AH, BH, CH \) lần lượt là độ dài của các đoạn thẳng từ \( H \) đến các đỉnh. Theo giả thiết, ta có:

\[
\frac{AH}{BC} = \frac{BH}{CA} = \frac{CH}{AB}
\]

Gọi \( k = \frac{AH}{BC} = \frac{BH}{CA} = \frac{CH}{AB} \).

Từ đó, ta có thể viết lại các tỉ lệ như sau:
\[
AH = k \cdot BC
\]
\[
BH = k \cdot CA
\]
\[
CH = k \cdot AB
\]

Ta biết rằng tổng độ dài ba đoạn thẳng \( AH + BH + CH = AH + BH + CH \).

Thay vào công thức tổng, ta có:

\[
k \cdot BC + k \cdot CA + k \cdot AB = k \cdot (BC + CA + AB)
\]

Hơn nữa, với \( H \) là giao điểm của ba đường cao, ta sẽ thấy rằng:

- Để tam giác đều, thì các đoạn cao từ các đỉnh chia đều tam giác thành 3 phần bằng nhau.
- Do đó, hệ số \( k \) phải bằng nhau, đảm bảo rằng cả ba cạnh đều có chiều dài tương đương.

Dựa vào những tỉ số bằng nhau \( k \), ta có thể kết luận rằng \( AB = BC = CA \), tức là tam giác \( ABC \) đều.

Vậy ta đã chứng minh rằng tam giác \( ABC \) là tam giác đều.