Để giải phương trình \(x^3 - 19x - 30 = 0\), trước tiên chúng ta có thể thử tìm các nghiệm nguyên bằng phương pháp thử nghiệm các giá trị nguyên nhỏ.

Hãy kiểm tra các giá trị \(x\) từ -5 đến 5:

1. **\(x = -5\)**:
\[
(-5)^3 - 19(-5) - 30 = -125 + 95 - 30 = -60 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

2. **\(x = -4\)**:
\[
(-4)^3 - 19(-4) - 30 = -64 + 76 - 30 = -18 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

3. **\(x = -3\)**:
\[
(-3)^3 - 19(-3) - 30 = -27 + 57 - 30 = 0 \quad (\text{là nghiệm})
\]

Nghiệm đầu tiên là \(x = -3\).

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích đa thức bằng cách thực hiện phép chia đa thức \(x^3 - 19x - 30\) cho \(x + 3\):

1. **Chia \(x^3\) cho \(x + 3\):**
- \(x^3 \div x = x^2\)
- Nhân \(x^2\) với \(x + 3\) ta có \(x^3 + 3x^2\).
- Trừ đi: \(x^3 - (x^3 + 3x^2) = -3x^2\).

2. **Tiếp theo, chia \(-3x^2\) cho \(x + 3\):**
- \(-3x^2 \div x = -3x\).
- Nhân \(-3x\) với \(x + 3\) ta có \(-3x^2 - 9x\).
- Trừ đi: \(-3x^2 - (-3x^2 - 9x) = 9x\).

3. **Cuối cùng, chia \(9x\) cho \(x + 3\):**
- \(9x \div x = 9\).
- Nhân \(9\) với \(x + 3\) ta có \(9x + 27\).
- Trừ đi: \(9x - (9x + 27) = -27\).

Vậy ta có:

\[
x^3 - 19x - 30 = (x + 3)(x^2 - 3x - 10).
\]

Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình \(x^2 - 3x - 10 = 0\) bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}.
\]

Từ đó, ta có hai nghiệm:
- \(x = \frac{10}{2} = 5\).
- \(x = \frac{-4}{2} = -2\).

Kết quả cuối cùng cho phương trình \(x^3 - 19x - 30 = 0\) là các nghiệm:
\[
x = -3, x = 5, x = -2.
\]