Để chứng minh tứ giác AHCN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng:

1. Cặp cạnh đối diện AH và CN song song và bằng nhau.
2. Cặp cạnh đối diện AC và HN song song và bằng nhau.

### Bước 1: Chứng minh AH // CN
Từ tính chất của đường cao, AH vuông góc với BC. Do M là trung điểm của AC, chúng ta có:

- AM = MC (tính chất trung điểm)

Gọi H' là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Theo định nghĩa đường cao, ta có AH vuông góc với BC, nên H' nằm trên BC.

Xét điểm N sao cho M là trung điểm của HN, nghĩa là:

- MH = MN

Ta lại có, vì M là trung điểm của AC nên:

- NC = NM

Do đó, A, H, C, N tạo thành một tứ giác.

### Bước 2: Chứng minh AC // HN
- AC nằm trên đường thẳng AC.
- HN cũng nằm trên đường thẳng xác định bởi H và N.

Từ điểm M có thể sử dụng tính chất trung điểm để chứng minh rằng HN // AC. Điều này có nghĩa rằng:

- AC // HN

### Bước 3: Độ dài
- Từ vị trí định nghĩa, ta có M là trung điểm của HN và AC. Do đó:

\( AH = CN \) và \( AC = HN \).

### Kết luận
Từ các điều kiện trên, ta đã chứng minh rằng:
1. Hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AHCN vừa song song, vừa bằng nhau (AH // CN và AC // HN).
2. Vì tứ giác AHCN có bốn góc vuông (AH vuông góc với BC) nên các góc AHC và ANC đều bằng 90 độ.

Do đó, tứ giác AHCN thỏa mãn các điều kiện của hình chữ nhật. Vậy tứ giác AHCN là hình chữ nhật.

### Kết thúc
Chúng ta đã chứng minh xong rằng tứ giác AHCN là hình chữ nhật.