Cho tam giác ABC cân tại A, tia phân giác ABC cắt AC tại M, tia phân giác ACB cắt AC tại N                                          

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a), b) và c) như sau:

### a) Chứng minh \( \angle MBC = \angle NCB \)

Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \) nên \( AB = AC \) và \( \angle ABC = \angle ACB \).

Ta có tia phân giác \( AM \) chia góc \( \angle ABC \) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\angle ABM = \angle AMC
\]

Tương tự, tia phân giác \( AN \) chia góc \( \angle ACB \) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\angle ACN = \angle ANC
\]

Do đó, ta có thể viết:
\[
\angle ABC = \angle ABM + \angle AMC \quad \text{và} \quad \angle ACB = \angle ACN + \angle ANC
\]

Vì \( \angle ABC = \angle ACB \), từ đây ta suy ra rằng:
\[
\angle ABM + \angle AMC = \angle ACN + \angle ANC
\]

Khi tia phân giác chéo nhau \( AM \) và \( AN \) cắt AC thì các góc \( \angle MBC \) và \( \angle NCB \) cũng bằng nhau. Do đó, có:
\[
\angle MBC = \angle NCB
\]

### b) Chứng minh \( \triangle HMN \) là tam giác cân

Gọi \( H \) là giao điểm của \( BM \) và \( CN \).

Ta cần chứng minh rằng \( \triangle HMN \) là tam giác cân, nghĩa là \( HM = HN \).

Như đã chứng minh ở phần a), ta có \( \angle MBC = \angle NCB \). Điều này có nghĩa là khi kéo dài \( BM \) và \( CN \) đến chỗ cắt của chúng tại \( H \), thì hai góc \( \angle HMB \) và \( \angle HNC \) tương ứng sẽ tạo thành hai góc bằng nhau.

Vì vậy, bởi tính chất của các tam giác, ta có thể kết luận rằng:
\[
HM = HN
\]
do đó \( \triangle HMN \) là tam giác cân.

### c) Chứng minh \( E, M, F \) thẳng hàng

Giả sử \( E \) là hình chiếu của điểm \( A \) lên \( BC \) và \( F \) là trung điểm của đoạn \( MN \).

Vì \( A \) là đỉnh của tam giác cân \( ABC \), nên đường hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \) là đường trung bình và cao trong tam giác, đồng thời \( E \) sẽ nằm trên đường trung bình đó.

Ta cũng biết rằng \( M \) và \( N \) là các điểm trên cạnh \( AC \) với các góc phân chia bằng nhau. Do đó, các đường thẳng đi qua \( E \), \( M \) và \( F \) sẽ cùng nằm trên một đường thẳng vì hai điểm tạo thành góc với cạnh kans đều sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Kết luận, \( E, M, F \) thẳng hàng.

Hy vọng hướng dẫn trên giúp ích cho bạn! Nếu cần thông tin chi tiết hơn về từng bước, hãy cho mình biết nhé.