Để giải bài toán này, trước hết ta cần tính năng suất làm việc của từng người.

1. **Tổng công việc**: Hai người dự định hoàn thành công việc trong 12 giờ, vậy tổng công việc là 1 công việc.

2. **Năng suất làm việc**:
- Giả sử năng suất của người thứ nhất là \( a \) (công việc/giờ) và người thứ hai là \( b \) (công việc/giờ).
- Khi làm chung, họ hoàn thành công việc trong 12 giờ: \( a + b = \frac{1}{12} \).

3. **Sau 8 giờ**:
- Công việc hoàn thành là: \( (a + b) \cdot 8 = \frac{1}{12} \cdot 8 = \frac{2}{3} \).
- Công việc còn lại: \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) công việc.

4. **Người thứ hai làm tiếp**:
- Người thứ hai làm công việc còn lại trong 2 giờ 20 phút (hay 2 + \frac{1}{3} giờ = \frac{7}{3} giờ).
- Năng suất của người thứ hai gấp đôi, nên năng suất mới là \( 2b \).
- Công việc còn lại thực hiện: \( 2b \cdot \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \).

5. **Giải phương trình**:
\[
2b \cdot \frac{7}{3} = \frac{1}{3}
\]
\[
2b = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{7}
\]
\[
b = \frac{1}{14}
\]

6. **Tính \( a \)**:
\[
a + b = \frac{1}{12}
\]
\[
a + \frac{1}{14} = \frac{1}{12}
\]
Tính đến quy đồng:
\[
a = \frac{1}{12} - \frac{1}{14} = \frac{7 - 6}{84} = \frac{1}{84}
\]

Bây giờ ta có:
- Năng suất của người thứ nhất: \( a = \frac{1}{84} \)
- Năng suất của người thứ hai: \( b = \frac{1}{14} \)

### Tính thời gian mỗi người làm việc:
- Thời gian người thứ nhất làm việc = 8 giờ.
- Thời gian người thứ hai:
- Khi người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục làm 2 giờ 20 phút = \( \frac{7}{3} \) giờ.
- Tổng thời gian người thứ hai làm: \( 8 + \frac{7}{3} = \frac{24 + 7}{3} = \frac{31}{3} \) giờ.

Nếu bạn cần thêm gì, cứ cho tôi biết nhé!