Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác AHCD là hình gì? Vì sao

Tứ giác AHCD là hình chữ nhật.
- Đầu tiên, vì I là trung điểm của AC, nên AI = IC.
- Về độ dài, vì IH = ID, nên H và D nằm đối xứng qua I.
- Hơn nữa, AH vuông góc với AC (do AH là đường cao), nên H nằm trên đường thẳng vuông góc với AC tại I.
- Do đó, AD = HC và AH = ID, tứ giác AHCD sẽ có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc, từ đó khẳng định rằng tứ giác này là hình chữ nhật.

### b) Tứ giác ADHB là hình gì? Vì sao

Tứ giác ADHB là hình thang.
- Ta thấy DB // AH (vì AB // AC) và AD = HB do I là trung điểm của AC và IH = ID, dẫn đến AD || BH.
- Đường cao AH cũng tạo ra hai cạnh AD và HB không song song nhưng nằm ở hai phía của đường cao, chứng minh rằng đây là hình thang.

### c) Cho AB = 5cm, BC = 8cm. Tính diện tích AHCD

Để tính diện tích tứ giác AHCD, ta có thể dùng công thức diện tích cho hình chữ nhật là S = chiều dài * chiều rộng.

- Đầu tiên, ta cần tính độ dài của AH. Do tam giác ABC cân tại A, ta có:
- Sử dụng định lý Pytago: \( AB^2 = AH^2 + IH^2 \)
- Trong tam giác vuông AIB, ta có:
\( AC = AB = 5 cm \)
và \( BC = 8 cm \).

Tính chiều cao AH trong tam giác ABC:
1. Nhận thấy nếu kẻ đường cao AH từ A đến cạnh BC, thì chưa biết được BC.
2. Sử dụng định thức diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} * AB * AC * \sin(∠A)
\]

Tuy nhiên, nếu muốn, ta có thể tính diện tích của hình vuông với cạnh là AH.

Diện tích của AHCD là:
\[
\text{S}_{AHCD} = AH \cdot AD
\]
Do đó, trước tiên ta cần biết chiều cao AH. Cần thêm thông tin cụ thể về góc A hoặc độ dài cho BC.

### d) Tam giác ABC có điều kiện gì để AHCD là hình vuông

Để tứ giác AHCD là hình vuông, cần có các điều kiện sau:
1. Kích thước cạnh: Cả AH và AD đều phải bằng nhau.
2. Cần phải có độ dài AC (cạnh huyền) đủ vai vế để đảm bảo rằng chiều cao từ A xuống cạnh BC và cạnh AD có tỉ lệ nhất định.

Trong trường hợp này, để có hình vuông, góc A phải = 90 độ và độ dài của AB và AC phải bằng nhau. Do đó, các điểm H, A, C, D phải thoả mãn các điều kiện bằng nhau và vuông góc.

Tóm lại:
- **Hình chữ nhật cho hình AHCD**.
- **Hình thang cho ADHB**.
- **Cần thêm dữ liệu để tìm chính xác chiều cao AH**.
- **AHCD là hình vuông khi AB = AC và góc A = 90 độ**.