Tìm điều kiện của \( x \) để \( P \) có nghĩa. Rút gọn biểu thức \( P \)

Để \( P \) có nghĩa, ta cần xác định điều kiện cho từng thành phần của biểu thức.

### a) Tìm điều kiện của \( x \) để \( P \) có nghĩa:

1. **Điều kiện cho biểu thức dưới căn**:
- \( \sqrt{x} \) có nghĩa khi \( x \geq 0 \).
- \( \sqrt{x - 1} \) có nghĩa khi \( x - 1 \geq 0 \) hay \( x \geq 1 \).
- \( \sqrt{2 - x} \) có nghĩa khi \( 2 - x \geq 0 \) hay \( x \leq 2 \).

Từ những điều kiện này, ta có:
- \( x \geq 1 \) (từ \( \sqrt{x - 1} \))
- \( x \leq 2 \) (từ \( \sqrt{2 - x} \))

Vậy điều kiện là:
\[
1 \leq x \leq 2
\]

2. **Điều kiện cho mẫu không bằng 0**:
- Mẫu \( \sqrt{x} - \sqrt{x - 1} \neq 0 \) hay \( \sqrt{x} \neq \sqrt{x - 1} \) dẫn đến \( x \neq 1 \).
- Mẫu \( \sqrt{x - 1} - \sqrt{2} \neq 0 \) hay \( \sqrt{x - 1} \neq \sqrt{2} \) dẫn đến \( x \neq 3 \) (cái này không nằm trong khoảng).

Điều kiện tổng quát là:
\[
1 < x \leq 2
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( P \):

Chúng ta có:
\[
P = \left[ \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{2}} \right] \cdot \left[ \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{x}} - \sqrt{2x - x}} \right]
\]
Rút gọn các phần:
- Tính \(\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x - 1}}\) bằng cách nhân với liên hợp.
- Xử lý từng phần trong biểu thức để tìm ra dạng rút gọn.

### c) Tính giá trị của \( P \) biết \( x = 3 + 2\sqrt{2} \):

Thay \( x \) vào:
1. Kiểm tra xem giá trị này có nằm trong khoảng \( 1 < x \leq 2 \) hay không. Giá trị sẽ không nằm trong khoảng này, nên \( P \) sẽ không có nghĩa.

### d) Tìm giá trị lớn nhất của \( P \):

Vì không có giá trị hợp lệ của \( x \) trong khoảng đã cho từ \( 1 < x \leq 2 \), ta cũng không thể tìm giá trị lớn nhất của \( P \).

### Kết luận:
- Điều kiện của \( x \) để \( P \) có nghĩa là \( 1 < x \leq 2 \).
- Biểu thức \( P \) cần rút gọn thêm.
- Giá trị của \( P \) tại \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) không có nghĩa.
- Không có giá trị lớn nhất của \( P \) trong khoảng đã cho.