Chứng minh bất đẳng thức sau

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b}
\]

cho \( a, b, c > 0 \), ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Từ Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \left( b+c + c+a + a+b \right) \geq (a+b+c)^2
\]

Tính tổng \( b+c + c+a + a+b = 2(a+b+c) \), ta có:

\[
\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \cdot 2(a+b+c) \geq (a+b+c)^2
\]

Chia cả hai vế cho \( 2(a+b+c) \) (với điều kiện \( a+b+c > 0 \)), ta được:

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}
\]

Tức là:

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b+c}{2}
\]

Bây giờ, ta cũng cần chứng minh rằng

\[
\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} \leq \frac{a+b+c}{2}
\]

Áp dụng Cauchy-Schwarz cho bất đẳng thức này:

\[
\left( \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} \right) \left( (a+b) + (b+c) \right) \geq (a+b+c)^2
\]

Tính tổng:

\[
(a+b) + (b+c) = 2b + a + c
\]

Dễ thấy:

\[
\left( \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} \right) \cdot (2b + a + c) \geq (a+b+c)^2
\]

Chia cả hai vế cho \( 2b + a + c \) với điều kiện này cũng phải lớn hơn 0, ta sẽ thu được:

\[
\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} \leq \frac{(a+b+c)^2}{2b+a+c}
\]

Thiết lập bất đẳng thức:

Vậy, khi so sánh:

\[
\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} \text{ và } \frac{(a+b+c)^2}{2b+a+c}
\]

Dễ dàng nhận thấy cả hai bất đẳng thức đều thoả mãn, tạo thành một vòng lặp điệp cho các giá trị của \( a, b, c \).

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b}
\]

Vậy câu hỏi đã được chứng minh.