Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Tìm tọa độ của điểm \( A \) thuộc đường thẳng \( (d) \) biết hoành độ của điểm \( A \) là 1.

Đường thẳng \( (d) \) có phương trình:

\[
y = x - 3
\]

Nếu hoành độ của điểm \( A \) là 1 (tức là \( x_A = 1 \)), ta thay giá trị này vào phương trình của đường thẳng để tìm tung độ:

\[
y_A = 1 - 3 = -2
\]

Vậy tọa độ của điểm \( A \) là:

\[
A(1, -2)
\]

### b) Gọi \( B \) là giao điểm của đường thẳng \( (d) \) và đường thẳng \( (d') \): \( y = 3x - 1 \). Tính độ dài đoạn thẳng \( OB \).

Để tìm giao điểm \( B \), ta đặt phương trình hai đường thẳng bằng nhau:

\[
x - 3 = 3x - 1
\]

Giải phương trình này:

\[
x - 3 = 3x - 1 \implies -3 + 1 = 3x - x \implies 2 = 2x \implies x = 1
\]

Thay giá trị \( x = 1 \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \):

\[
y = 1 - 3 = -2 \quad \text{(hoặc)} \quad y = 3 \cdot 1 - 1 = 2
\]

Như vậy, giao điểm \( B \) có tọa độ là \( B(1, -2) \).

### Tính độ dài đoạn thẳng \( OB \).

Tọa độ của gốc tọa độ \( O(0, 0) \) và tọa độ của \( B(1, -2) \), độ dài đoạn thẳng \( OB \) được tính bằng công thức khoảng cách:

\[
d = \sqrt{(x_B - x_O)^2 + (y_B - y_O)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \( OB \) là:

\[
OB = \sqrt{5}
\]