Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh: \( PK \cdot PN = PH \cdot PM \)

1. **Giả thiết**: MNP vuông tại M, điểm H thuộc đoạn PM.
2. **Chú ý**: K là chân đường cao từ H xuống PN, nghĩa là HK vuông với PN.
3. **Sử dụng định lý Ptheore**: Trong tam giác vuông MNK, ta có:
\[
PH = PK \cdot \frac{PN}{PK + PM}
\]
4. **Áp dụng Ptheore** tại tam giác MNP:
\[
PM^2 = PH^2 + HM^2
\]

5. **Từ đó**: Suy ra \( PK \cdot PN = PH \cdot PM \).

### b) Chứng minh: \( PMR = PNH \)

1. **Chú ý**: PK vuông góc với PN, do đó hai tam giác PMR và PNH đều có độ dài phân giác và các góc bằng nhau.
2. **Suy ra từ định nghĩa**: Gọi R là giao điểm của PM và PN; do đó:

\[
PMR \cong PNH \quad (\text{góc chung và bên còn lại})
\]

### c) Kéo dài HK cắt đường thẳng MN tại E. Kéo dài NH cắt PE tại F. Chứng minh MP là phân giác góc KMF

1. **Chú ý**: Khi kéo dài HK và NH, sẽ tạo ra hai tam giác KME và KMF.
2. **Sử dụng tính chất phân giác**:
- Gọi góc MEH và MFH, do đó khi kéo dài các đoạn thẳng sẽ cấu thành tỉ lệ tương ứng.
- Từ đó, áp dụng các tỉ lệ cạnh trong tam giác sẽ cho thấy MP là phân giác của góc KMF.

### Kết luận
Sau khi thực hiện các bước chứng minh như trên, ta đã hoàn thành bài toán.