Cho tam giác ABC có góc A = 90°; đường cao AH. Vẽ tia phân giác của góc CAH cắt đoạn HC tại D. Từ H vẽ đường thẳng song song AD cắt AB tại M và từ D vẽ DN vuông góc với AC tại N. Chứng minh

Để chứng minh các yếu tố liên quan đến tứ giác AMHD và AMDN, ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của các hình hình học trong tam giác vuông.

### a. Chứng minh tứ giác AMHD là hình thang cân

1. **Tính chất của tia phân giác**:
- Tia phân giác CAH cắt đoạn HC tại D, từ đó \(\angle CAD = \angle DAH\).

2. **Vẽ đường thẳng song song**:
- Từ H, vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M, nghĩa là \(HM \parallel AD\).

3. **Sử dụng tính song song**:
- Ta có \(HM \parallel AD\) và \(AD\) cắt \(AC\) tại A. Từ đó suy ra rằng:
\[
\angle AHM = \angle ADH
\]
- Mặt khác, do AD là tia phân giác của \(\angle CAH\), nên \(\angle CAD = \angle DAH\).

4. **Nhận xét**:
- Khi đó, ta có \(\angle AHM = \angle CAD\), và từ đó \(AMHD\) có 2 cặp góc đồng dạng và bằng nhau, tức là:
\[
\angle AHM = \angle DAH \quad \text{và} \quad \angle AMH = \angle AHD
\]

5. **Kết luận**:
- Do đó, tứ giác AMHD có hai cặp góc đối bằng nhau nên AMHD là hình thang cân.

### b. Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật

1. **Xét định nghĩa hình chữ nhật**:
- Để AMDN là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
AM \perp AD \quad \text{và} \quad AN \perp MD
\]

2. **Chứng minh AM vuông góc với AD**:
- Từ H, vẽ đường thẳng AD. Do AD là bisection của góc CAH, nó cũng tạo ra một góc vuông tại A, dẫn đến AM cũng vuông góc với AD.
- Vậy ta có:
\[
\angle AMH = 90^\circ \rightarrow AM \perp AD
\]

3. **Chứng minh DN vuông góc với AC**:
- DN được vẽ vuông góc với AC tại N. Do đó, ta có:
\[
\angle DNC = 90^\circ \rightarrow DN \perp AC
\]

4. **Chứng minh rằng AD vuông góc với DN**:
- Bởi vì AD là đường phân giác của \(\angle CAH\), và DN vuông góc với AC, ta có rằng \(AD \perp DN\).

5. **Kết luận**:
- Từ các tính chất trên, ta có tứ giác AMDN với:
\[
AM \perp AD \quad \text{và} \quad DN \perp AC,
\]
và do đó AMDN là hình chữ nhật.

### Kết luận

Từ những phân tích ở trên, ta đã chứng minh được rằng:
- Tứ giác AMHD là hình thang cân.
- Tứ giác AMDN là hình chữ nhật.