Chứng minh tứ giác AMHD là hình thang cân; tứ giác AMDN là hình chữ nhật

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sử dụng các tính chất của hình học và một số định lý về tam giác và tứ giác.

**a. Chứng minh tứ giác AMHD là hình thang cân**

Tứ giác AMHD là hình thang nếu có một cặp cạnh đối song song. Ta sẽ chứng minh rằng \( AM \parallel HD \).

1. **Tính chất song song**: Theo giả thiết, từ điểm H, ta dựng đường thẳng song song với AD cắt AB tại M. Điều này cho thấy \( HM \parallel AD \).
2. **Góc phụ**: Vì D nằm trên tia phân giác của góc CAH, nên:
\[
\angle CAD = \angle DAH
\]
3. **Tính chất của tam giác**: Trong tam giác AHD, ta có:
\[
\angle AHD = \angle DAB \quad (\text{vì } AD \parallel HM)
\]
4. **Dựa vào các góc**: Như vậy, chúng ta có:
\[
\angle AHD = \angle CAD
\]
và
\[
\angle DAB = \angle DAH
\]

Từ đó, ta suy ra \( AM \parallel HD \). Bởi vì AM và HD đều cùng tạo thành một tứ giác AMHD với hai cặp cạnh đối song song, ta kết luận rằng tứ giác AMHD là hình thang.

Bên cạnh đó, ta cũng nhận thấy rằng \( AD = MH \) từ đó ta có thể khẳng định \( tứ giác AMHD \) là hình thang cân vì hai cạnh bên AM và HD là bằng nhau.

**b. Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật**

Tứ giác AMDN là hình chữ nhật nếu nó có hai cạnh đối vuông góc. Ta sẽ chứng minh rằng \( AM \perp DN \) và \( AN \perp MD \):

1. **Vuông góc giữa đoạn thẳng và đường ghi**: Theo giả thiết, DN được vẽ vuông góc với AC. Do đó:
\[
AN \perp AC
\]
2. **Các góc tại điểm M**: Từ M vẽ đường thẳng song song với AD, suy ra \( AM \parallel AD \).
3. **Góc vuông**: Từ định nghĩa trên, dẫn đến:
\[
AM \perp DN \quad (\text{vì } DN \perp AC)
\]

Kết quả cho thấy rằng cả hai cặp cạnh đối của tứ giác AMDN đều vuông góc với nhau, từ đó kết luận rằng tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

**Kết luận**:
1. Tứ giác AMHD là hình thang cân.
2. Tứ giác AMDN là hình chữ nhật.