Giải bất phương trình

Để giải bất phương trình \(\frac{2x-1}{x+1} \geq 0\), ta bắt đầu phân tích dấu của biểu thức.

1. Xác định các điểm làm cho tử số và mẫu số bằng 0:
- Tử số \(2x - 1 = 0\) dẫn đến \(x = \frac{1}{2}\).
- Mẫu số \(x + 1 = 0\) dẫn đến \(x = -1\) (mẫu số không thể bằng 0).

2. Chia trục số thành các khoảng, dựa trên các điểm đã tìm được:
- Các khoảng: \((-\infty, -1)\), \((-1, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, +\infty)\).

3. Kiểm tra dấu của biểu thức \(\frac{2x-1}{x+1}\) trên từng khoảng:
- **Khoảng \((-\infty, -1)\)**: Chọn \(x = -2\):
\[
\frac{2(-2)-1}{-2+1} = \frac{-4-1}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0.
\]
- **Khoảng \((-1, \frac{1}{2})\)**: Chọn \(x = 0\):
\[
\frac{2(0)-1}{0+1} = \frac{-1}{1} = -1 < 0.
\]
- **Khoảng \((\frac{1}{2}, +\infty)\)**: Chọn \(x = 1\):
\[
\frac{2(1)-1}{1+1} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2} > 0.
\]

4. Tổng hợp thông tin dấu:
- \((-\infty, -1)\): Dương.
- \((-1, \frac{1}{2})\): Âm.
- \((\frac{1}{2}, +\infty)\): Dương.

5. Xét các điểm ranh giới:
- \(x = -1\): Không được vì mẫu số bằng 0.
- \(x = \frac{1}{2}\): Tử số bằng 0, nên biểu thức \(\frac{2x-1}{x+1} = 0\) tại đây.

6. Kết hợp tất cả lại, bất phương trình \(\frac{2x-1}{x+1} \geq 0\) có nghiệm là:
\[
x \in (-\infty, -1) \cup \left[\frac{1}{2}, +\infty\right).
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
\[
x \in (-\infty, -1) \cup \left[\frac{1}{2}, +\infty\right).
\]