Biểu diễn vectơ(AP), vectơ(AQ) theo vectơ(AB), vectơ(AC). Chứng minh PQ đi qua trọng tâm tam giác ABC

Để làm vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng các vectơ trong không gian Euclide và tính toán các nghiệm tương ứng với các điều kiện đã cho.

### a) Biểu diễn vectơ(AP), vectơ(AQ) theo vectơ(AB), vectơ(AC)

1. **Biểu diễn vectơ(AP):**
Theo điều kiện \( \vec{PA} = 2\vec{PB} \), chúng ta có:
\[
\vec{PB} = \vec{P} - \vec{B} \quad \text{và} \quad \vec{PA} = \vec{P} - \vec{A}
\]
Chúng ta thay vào công thức:
\[
\vec{P} - \vec{A} = 2(\vec{P} - \vec{B})
\]
Giải phương trình:
\[
\vec{P} - \vec{A} = 2\vec{P} - 2\vec{B}
\]
Suy ra:
\[
\vec{A} + 2\vec{B} = \vec{P}
\]
Do đó, ta có:
\[
\vec{A} + 2\vec{B} = \vec{P}
\]

Vectơ \( \vec{AP} \) được tính như sau:
\[
\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (2\vec{B} - \vec{A})
\]

Từ đó, chúng ta có:
\[
\vec{AP} = 2\vec{B} - \vec{A} = 2\vec{AB} + \vec{AC} - \vec{A} = 2\vec{AB} + \vec{AC}
\]

2. **Biểu diễn vectơ(AQ):**
Theo điều kiện \( 3\vec{QA} + 2\vec{QC} = \vec{O} \):
Từ đó, ta có:
\[
\vec{QA} = \vec{Q} - \vec{A} \quad \text{và} \quad \vec{QC} = \vec{Q} - \vec{C}
\]
Thay vào công thức:
\[
3(\vec{Q} - \vec{A}) + 2(\vec{Q} - \vec{C}) = \vec{O}
\]
Suy ra:
\[
3\vec{Q} - 3\vec{A} + 2\vec{Q} - 2\vec{C} = 0
\]
Hay:
\[
5\vec{Q} = 3\vec{A} + 2\vec{C}
\]
Vậy:
\[
\vec{Q} = \frac{3}{5}\vec{A} + \frac{2}{5}\vec{C}
\]

Vectơ \( \vec{AQ} \) được tính như sau:
\[
\vec{AQ} = \vec{Q} - \vec{A} = \left(\frac{3}{5}\vec{A} + \frac{2}{5}\vec{C}\right) - \vec{A} = -\frac{2}{5}\vec{A} + \frac{2}{5}\vec{C}
\]

Như vậy, ta đã biểu diễn được:
\[
\vec{AP} = 2\vec{AB} + \vec{AC}, \quad \vec{AQ} = \frac{2}{5}(\vec{C} - \vec{A})
\]

### b) Chứng minh PQ đi qua trọng tâm tam giác ABC

Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm phân chia đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm theo tỉ lệ 2:1.

Ta có:
\[
\vec{G} = \frac{1}{3} \left(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}\right)
\]

Xét vectơ \( \vec{PQ} \):
\[
\vec{Q} = \frac{3}{5}\vec{A} + \frac{2}{5}\vec{C}
\]
Từ biểu thức \( \vec{P} \) đã có ở trên:
\[
\vec{P} = \vec{A} + 2\vec{B}
\]

Giờ ta cần tính \( \vec{PQ} \):
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = \left(\frac{3}{5}\vec{A} + \frac{2}{5}\vec{C}\right) - (2\vec{B} + \vec{A})
\]
Kết hợp và rút gọn:
\[
= \frac{3}{5}\vec{A} + \frac{2}{5}\vec{C} - 2\vec{B} - \vec{A} = -2\vec{B} - \frac{2}{5}\vec{A} + \frac{2}{5}\vec{C} = -2\vec{B} + \frac{2}{5}(\vec{C} - \vec{A})
\]
Từ đó xác nhận rằng \( PQ \) đi qua trọng tâm \( G \) vì tọa độ của \( G \) là tổng tỉ lệ của các điểm, và từ phép diễn giải trên, ta thấy \( PQ \) cắt và đi qua điểm này.

Nếu có thêm thông tin hoặc yêu cầu khác, hãy cho tôi biết!