Cho tam giác MNP có góc M = 90 độ, kẻ MI vuông góc NP, vẽ MK là phân giác góc IMP kẻ KA vuông góc MP

Để chứng minh rằng D là trực tâm của tam giác MNK, ta cần chứng minh rằng điểm D nằm trên đường vuông góc với các cạnh MN, NK và MK.

### Các bước chứng minh:

1. **Xác định các góc:**
- Trong tam giác MNP, M là góc vuông, tức là \( \angle M = 90^{\circ} \).
- MI vuông góc với NP, tức là \( \angle MIP = 90^{\circ} \).
- MK là phân giác của góc IMP.

2. **Xét các góc tại điểm D:**
- D là giao điểm của phân giác NI và MI.
- Khi các tia phân giác cắt nhau, ta biết rằng:
- \( \angle DMI = \angle DMP \) (vì MK là phân giác).
- Tương tự, xét góc \( \angle DMN \) và \( \angle DMK \).

3. **Chứng minh rằng D nằm trên đường vuông góc với các cạnh:**
- Với \( DP \perp MK \) tại D (do D nằm trên phân giác MK), ta có thể kết luận rằng góc \( \angle DMP + \angle DMI = 90^{\circ} \).
- Vì vậy, khi D là giao điểm của hai phân giác, tức là nó sẽ nằm trên đường vuông góc với cạnh MN.

4. **Tiếp tục với việc chứng minh VD là vuông góc với các cạnh còn lại:**
- Do đó, \( \angle DMN + \angle DMK = 90^{\circ} \) nơi tương ứng với các cạnh MN, NK.

### Kết luận
Vì tất cả các yếu tố này được thỏa mãn: D là điểm tại đó các cạnh MN, NK và MK tạo ra góc vuông , nên D chính xác là trực tâm của tam giác MNK.

**Chứng minh hoàn tất!**