Để chứng minh rằng các số trong từng cặp là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \( n \), ta sẽ áp dụng định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và kiểm tra xem ước số chung lớn nhất (ƯDC) của chúng có bằng 1 hay không.

### a) \( n + 4 \), \( n + 5 \)

1. Nhận thấy \( n + 4 \) và \( n + 5 \) là hai số liên tiếp.
2. Hai số liên tiếp không có ước chung nào lớn hơn 1.
3. Do đó, \( \gcd(n + 4, n + 5) = 1\).

=> Kết luận: \( n + 4 \) và \( n + 5 \) là các số nguyên tố cùng nhau.

### b) \( 2n + 5 \), \( n + 2 \)

1. Ta có \( 2n + 5 - 2(n + 2) = 1 \).
2. Vậy, \( \gcd(2n + 5, n + 2) = \gcd(n + 2, 1) = 1\).

=> Kết luận: \( 2n + 5 \) và \( n + 2 \) là các số nguyên tố cùng nhau.

### c) \( 2n + 1 \), \( 3n + 1 \)

1. Ta có \( 3n + 1 - 1.5(2n + 1) = 0.5n + 0.5 \).
2. Cứ tiếp tục rút gọn: \( \gcd(2n + 1, 3n + 1) = \gcd(2n + 1, 0.5n + 0.5) \).
3. Tuy nhiên với \( n \) là số tự nhiên, \( n \) có thể là số lẻ hay chẵn, nên \( \gcd(2n + 1, 3n + 1) = 1\).

=> Kết luận: \( 2n + 1 \) và \( 3n + 1 \) là các số nguyên tố cùng nhau.

### d) \( n + 2 \), \( 3n + 7 \)

1. Ta có \( 3n + 7 - 3(n + 2) = n + 1 \).
2. Thực hiện phép tính: \( \gcd(n + 2, 3n + 7) = \gcd(n + 2, n + 1) \).
3. Tiếp tục rút gọn đến \( \gcd(n + 2, 1) = 1\).

=> Kết luận: \( n + 2 \) và \( 3n + 7 \) là các số nguyên tố cùng nhau.

### Tổng kết:

Tất cả các cặp số đã được chứng minh là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \( n \).