Gọi E, F là lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học trong tam giác vuông và định nghĩa hình chiếu.

### a) Tính độ dài \( AH \) và chứng minh \( EF = AH \)

1. **Tính độ dài \( AH \)**:
Đầu tiên, để tính độ dài \( AH \), ta chú ý rằng \( H \) nằm ở vị trí góc vuông của tam giác \( ABC \). Do đó, chiều cao \( AH \) được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{BC \cdot AB}{AC}
\]
(hoặc một biến thể tương tự tùy thuộc vào thông tin đã cho trong bài toán).

2. **Chứng minh \( EF = AH \)**:
- \( E \) và \( F \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) trên cạnh \( AB \) và \( AC \).
- Theo định nghĩa về hình chiếu, ta có:
- \( HE \perp AB \)
- \( HF \perp AC \)
- Có thể sử dụng định lý Pytago để chứng minh rằng chiều dài \( EF \) bằng chiều cao \( AH \):
\[
EF = HE + HF = AH
\]
Từ đó suy ra \( EF = AH \).

### b) Tính \( EA \cdot EB + AF \cdot FC \) và diện tích \( AEHF \)

1. Tính \( EA \cdot EB + AF \cdot FC \):
- Sử dụng hệ thức về đoạn thẳng và diện tích trong tam giác \( ABC \), có thể tính:
\[
EA \cdot EB = \frac{1}{2} AB \cdot AH \quad \text{và} \quad AF \cdot FC = \frac{1}{2} AC \cdot AH
\]
- Do đó, tổng:
\[
EA \cdot EB + AF \cdot FC = \frac{1}{2} AB \cdot AH + \frac{1}{2} AC \cdot AH
\]

2. Tính diện tích \( AEHF \):
- Diện tích tam giác \( AEHF \) có thể tính bằng:
\[
S_{AEHF} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot AH
\]
- Với \( EF = AH \), ta có \( S_{AEHF} = \frac{1}{2} \cdot AH^2 \).

### c) Gọi \( AD \) là phân giác góc \( A \). Tính \( CD \) và \( BD \)

1. Tính \( CD \) và \( BD \):
- Theo tính chất phân giác, có tỉ lệ:
\[
\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB}
\]
- Nếu \( AB + AC = BC \), từ sự phân giác, ta có thể thiết lập hệ phương trình và tính được \( CD \) và \( BD \).

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành các phần hỏi trong bài. Nếu cần thêm bất kỳ thông tin nào hoặc cần tính các giá trị cụ thể, cần có kích thước hoặc số liệu cụ thể của tam giác \( ABC \).