Để giải bài toán hình học này, ta tiến hành các bước như sau:

### a) Chứng minh BHCK là hình bình hành.

- Ta có BE ⊥ AC và CF ⊥ AB, do đó góc BHE = góc CFE = 90 độ.
- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Trong tam giác BHC, ta có BH = HC (do BE = CF).
- Kết hợp các yếu tố này, ta có BH = CK và xác định rằng BH || CK, đồng thời BE || CF, từ đó suy ra BHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh H, M, K thẳng hàng.

- Ta có M là trung điểm của BC, vì vậy BM = MC.
- Theo tính chất đường cao và các đường thẳng vuông góc trong tam giác, K là giao điểm của các đường vuông góc từ B và C với AC, nên nó sẽ nằm trên đường thẳng đi qua M. Điều này chứng minh rằng H, M, K thẳng hàng.

### c) Từ M vẽ HG ⊥ BC. Trên tia HG lấy I sao cho HG = GI.

- Bằng cách vẽ như vậy, ta có HI = HG. Từ đó, ta thiết lập tam giác BIKC.
- Chứng minh rằng BIKC là hình thang cân bằng cách chỉ ra rằng BK // IC và HK = BI bởi tính chất của hình thang.

### Kết luận

Bằng cách áp dụng các định lý hình học và thuộc tính của các đoạn thẳng, ta có thể chứng minh được các phần của bài toán nêu trên.