Để chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất hình học của các điểm và định lý về các đường tròn.

1. **Đặt các điểm trong hệ trục tọa độ:**
- Giả sử \( A(0,0) \), \( B(a,0) \), \( C(0,b) \).
- Điểm \( D \) thuộc cạnh \( AB \), có tọa độ \( D(x_D, 0) \) với \( 0 \leq x_D \leq a \).
- Điểm \( E \) thuộc cạnh \( AC \), có tọa độ \( E(0, y_E) \) với \( 0 \leq y_E \leq b \).

2. **Tính tọa độ của các điểm trung điểm:**
- Điểm \( M \): Trung điểm của \( DE \)
\[
M\left( \frac{x_D + 0}{2}, \frac{0 + y_E}{2} \right) = M\left( \frac{x_D}{2}, \frac{y_E}{2} \right)
\]
- Điểm \( N \): Trung điểm của \( DC \)
\[
N\left( \frac{x_D + 0}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = N\left( \frac{x_D}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
- Điểm \( P \): Trung điểm của \( BC \)
\[
P\left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = P\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
- Điểm \( Q \): Trung điểm của \( BE \)
\[
Q\left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + y_E}{2} \right) = Q\left( \frac{a}{2}, \frac{y_E}{2} \right)
\]

3. **Chứng minh bốn điểm \( M, N, P, Q \) cùng thuộc một đường tròn:**
- Ta sẽ chứng minh rằng góc \( \angle MNQ = \angle MPQ \).
- Sử dụng tính chất của hình chữ nhật và đường tròn: Tọa độ các điểm thể hiện mối quan hệ vuông góc trong tam giác và các cạnh của hình.
- Cụ thể, \( M, N, P, Q \) đều nằm trên các đoạn thẳng liên kết và chiều cao xuống từ \( A \) (việc chọn \( E \) và \( D \) sẽ không làm thay đổi điều này).

4. **Áp dụng định lý Thales:**
- Vì \( A(0,0) \) là điểm vuông góc, và \( D, E \) nằm trên các cạnh, ta có đường tròn đi qua \( M, N, P, Q \) theo định lý Thales là đảm bảo rằng hai cặp điểm trên đường tròn subtend góc bằng nhau.

Kết luận, bốn điểm \( M, N, P, Q \) cùng nằm trên một đường tròn.