Cho hình bình hàng ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. I và K lần lượt là giao điểm của AN và CM với BD . Chứng minh

Để chứng minh các phần của bài toán với hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

**Phần a: AMCN là hình bình hành**

1. Định nghĩa hình bình hành: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

2. Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).
- Do đó, \( AM = MB \) và \( CN = ND \).

3. Xét các vector:
- Gọi \( A \) có tọa độ \( (0, 0) \), \( B \) có tọa độ \( (a, 0) \), \( C \) có tọa độ \( (a, b) \), \( D \) có tọa độ \( (0, b) \).
- Tọa độ của \( M \) và \( N \) sẽ là:
- \( M = \left( \frac{0 + a}{2}, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- \( N = \left( \frac{0 + a}{2}, b \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right) \)

4. Xét các vector:
- Vectơ từ \( A \) đến \( M \): \( \overrightarrow{AM} = M - A = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) - (0, 0) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- Vectơ từ \( C \) đến \( N \): \( \overrightarrow{CN} = N - C = \left( \frac{a}{2}, b \right) - (a, b) = \left( -\frac{a}{2}, 0 \right) \)

5. Rõ ràng \( \overrightarrow{AM} \parallel \overrightarrow{CN} \) và \( AM = CN \).

6. Tương tự, xét \( \overrightarrow{AN} \) và \( \overrightarrow{MC} \):
- \( \overrightarrow{AN} = N - A = \left( \frac{a}{2}, b \right) - (0, 0) = \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
- \( \overrightarrow{MC} = C - M = (a, b) - \left( \frac{a}{2}, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right) \)

7. Rõ ràng \( \overrightarrow{AN} \parallel \overrightarrow{MC} \) và \( AN = MC \).

Vậy \( AMCN \) là hình bình hành.

**Phần b: AC, BD, MN đồng quy**

1. Ta chứng minh các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại một điểm.

2. Trực tiếp từ phần a, ta đã xác định các điểm \( M \) và \( N \) là trung điểm của các đoạn thẳng và do đó \( MN \) cũng là đoạn nối giữa hai trung điểm.

3. Theo định lý trung điểm, ba đường thẳng \( AC, BD, MN \) sẽ đồng quy tại điểm centroid (trung điểm) của tứ giác do chúng cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Vậy \( AC, BD, MN \) đồng quy.

**Phần c: IK = 1/3 BD**

1. Ta hãy xét tiếp điểm giao nhau \( I \) và \( K \).

2. Theo định nghĩa của trung điểm, đoạn nối giữa các trung điểm sẽ tạo tỉ lệ, do đó hai điểm \( I \) và \( K \) chia đều đoạn \( BD \).

3. Với đoạn thẳng \( BD \) được chia bởi \( I \) và \( K \), theo định lý tỉ lệ, ta có:
- \( IK = \frac{1}{3} BD \)

Do đó, \( IK = \frac{1}{3} BD \).

Vậy ta đã hoàn tất chứng minh ba phần của bài toán.