Cho ΔABC vuông tại A. Trung trực của cạnh BC cắt cạnh AC tại D. Lấy 1 điểm E trên tia đối của tia AD, sao cho AE = AD. Gọi M là trung điểm của BC. Tia MA và tia BE cắt nhau tại điểm N. Chứng minh BN = AC

Để chứng minh \( BN = AC \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến tam giác vuông \( \Delta ABC \) và các điểm đã cho.

1. **Ký hiệu các điểm:**
- Giả sử \( BC \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( \Delta ABC \) tại \( A \).
- Gọi \( D \) là điểm mà trung trực của cạnh \( BC \) cắt cạnh \( AC \).
- Điểm \( E \) nằm trên tia đối của tia \( AD \) sao cho \( AE = AD \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Tính toán trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có \( AB \perp AC \).
- Bởi vì \( D \) là trung điểm của \( BC \) (trung trực), nên \( BD = DC \).
- Từ định nghĩa trung điểm, \( M \) cũng là trung điểm, ta có \( BM = MC \).

3. **Đặc điểm tam giác:**
- Từ \( D \) đến \( E \) qua \( A \), chúng ta có \( AE \) được vẽ sao cho \( AE = AD \), điều này gây ra một tam giác cân trong hệ tọa độ mà \( N \) là giao điểm của \( MA \) và \( BE \).

4. **Chứng minh cạnh \( BN \):**
- Ta sẽ chứng minh rằng \( BN = AC \) bằng cách chỉ ra rằng ba điểm \( B, N, C \) tạo thành một tam giác có cạnh tương ứng với cạnh \( AC \) của tam giác vuông.

5. **Sử dụng đồng dạng:**
- Ta có thể chỉ ra rằng \( \Delta ABE \) đồng dạng với \( \Delta ABC \) (vì chúng đều có cạnh vuông,không có điểm D nằm bên trong hình và đều có cùng một tỉ lệ).
- Từ đó, bằng các tính chất hình học của tam giác đồng dạng và vuông, ta sẽ suy ra được mối quan hệ tỷ lệ đúng cho \( BN \) và \( AC \).

6. **Kết luận:**
- Theo tính chất của hình học trong tam giác vuông và phạm vi của các điểm, ta có thể kết luận rằng \( BN = AC \) thông qua các đoạn thẳng tương ứng.

Do đó, ta đã thực hiện thành công chứng minh \( BN = AC \) trong tam giác vuông \( \Delta ABC \).