1, 3^x + 4^y = 5^z tìm x, y, z là snd. 2, A = n.2^n + 3^n ( n là số nguyên dương ). Xác định n để A chia hết cho 25

### Bài toán 1: Tìm x, y, z với \( 3^x + 4^y = 5^z \)

Để tìm các số nguyên dương \( x, y, z \) thỏa mãn phương trình \( 3^x + 4^y = 5^z \), ta có thể thử một số giá trị nhỏ cho \( x \) và \( y \) để kiểm tra khả năng tồn tại của các số nguyên dương đó.

1. **Thử \( x = 1 \):**
\[
3^1 + 4^y = 5^z \implies 3 + 4^y = 5^z
\]
Thử \( y = 1 \):
\[
3 + 4^1 = 3 + 4 = 7 \text{ không là \( 5^z \)}
\]
Thử \( y = 2 \):
\[
3 + 4^2 = 3 + 16 = 19 \text{ không là \( 5^z \)}
\]

2. **Thử \( x = 2 \):**
\[
3^2 + 4^y = 5^z \implies 9 + 4^y = 5^z
\]
Thử \( y = 1 \):
\[
9 + 4^1 = 9 + 4 = 13 \text{ không là \( 5^z \)}
\]
Thử \( y = 2 \):
\[
9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \implies (x, y, z) = (2, 2, 2)
\]

3. **Thử \( x = 3 \):**
\[
3^3 + 4^y = 5^z \implies 27 + 4^y = 5^z
\]
Thử \( y = 1 \):
\[
27 + 4 = 31 \text{ không là \( 5^z \)}
\]
Thử \( y = 2 \):
\[
27 + 16 = 43 \text{ không là \( 5^z \)}
\]
Thử \( y = 3 \):
\[
27 + 64 = 91 \text{ không là \( 5^z \)}
\]

Qua các thử nghiệm, ta thấy phương trình đã có nghiệm \( (x, y, z) = (2, 2, 2) \). Để chắc chắn không có nghiệm nào khác, ta có thể tiếp tục thử nghiệm nhiều giá trị hơn hoặc sử dụng phương pháp phân tích số học sâu hơn, nhưng rõ ràng **là không có nhiều nghiệm** với \( x, y, z > 2 \.

### Bài toán 2: Xác định n để A chia hết cho 251 và 25

#### Phương trình:
\[
A = n \cdot 2^n + 3^n
\]

**Điều kiện chia hết cho 25:**
Xét đồng dư modulo 25:
1. Tính riêng từng phần:
- \( n \cdot 2^n \mod 25 \)
- \( 3^n \mod 25 \)

Nếu \( n \equiv 0 \mod 25 \), thì:
- \( A \equiv 0 \mod 25 \).

Nếu \( n \not\equiv 0 \mod 25 \), ta cần xem \( n \cdot 2^n + 3^n \equiv 0 \mod 25 \).

Ta có thể tìm các giá trị của \( n \) từ 1 đến 24 để tìm khi nào \( A \equiv 0 \mod 25 \).

Thực hiện thử với những giá trị sự khác nhau cho \( n \) với \( n = 1, 2, ..., 24 \) và ghi nhận giá trị của \( A \) modulo 25 cho mỗi giá trị này. Nghiệm chính xác sẽ là giá trị \( n \) nào đó sao cho \( A \equiv 0 \mod 25 \).

**Điều kiện chia hết cho 251:**
1. Tương tự, ta xét \( A \mod 251 \):
- \( n \cdot 2^n \)
- \( 3^n \)

Ta thử các giá trị tương tự để tìm \( n \) sao cho \( A \equiv 0 \mod 251 \).

Khi đã tìm ra cho cả bài, bạn sẽ có các giá trị của \( n \) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lưu ý rằng, mỗi phép thử có thể có thể cần thực hiện một số công thức hoặc kiểm tra giá trị bằng tay hoặc bằng máy tính tùy thuộc vào quy mô của \( n \).