Để tính giá trị của \( M \), chúng ta quan sát rằng chuỗi \( M \) có thể được viết dưới dạng tổng của một cấp số cộng:

\[
M = 1 - \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^3 + \left(\frac{3}{4}\right)^4 - \ldots + \left(\frac{3}{4}\right)^{2024}
\]

Chúng ta có thể nhóm lại các số hạng trong chuỗi này thành công thức tổng quát cho một cấp số cộng với số hạng đầu là \( a = 1 \), công bội là \( r = -\frac{3}{4} \), và số hạng cuối là \( n = 2024 \).

Công thức tổng của một cấp số cộng (hoặc phần dị thường của một chuỗi số hạng) có thể tính bằng công thức sau:

\[
S_n = a \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên,
- \( r \) là công bội,
- \( n \) là số hạng phải trừ 1 (trong trường hợp này \( n = 2024 \)).

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:

- \( a = 1 \)
- \( r = -\frac{3}{4} \)
- \( n = 2024 \)

Từ đó, ta có:

\[
M = 1 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^{2025}}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^{2025}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^{2025}}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7} \left(1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^{2025}\right)
\]

Tiếp theo, để tính giá trị của \( \left(-\frac{3}{4}\right)^{2025} \):

- \( \left(-\frac{3}{4}\right)^{2025} = -\left(\frac{3}{4}\right)^{2025} \)

Do đó, ta có:

\[
M = \frac{4}{7} \left( 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^{2025} \right)
\]

**a. Tính M**

Như đã tính ở phần trên:

\[
M = \frac{4}{7} \left( 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^{2025} \right)
\]

**b. Chứng minh M không phải là số nguyên**

Để chứng minh rằng \( M \) không phải là số nguyên, ta lưu ý đến biểu thức \( \left(\frac{3}{4}\right)^{2025} \):

- Giá trị này là một số dương nhỏ hơn 1.

Do đó, \( 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^{2025} \) sẽ vẫn là một số dương lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 2.

Suy ra:

\[
M = \frac{4}{7} \left(1 + \left(\frac{3}{4}\right)^{2025}\right)
\]

Số \( 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^{2025} \) sẽ không phải là số nguyên, tức là \( \frac{4}{7} \) nhân với một số không phải nguyên. Bởi vì một số nguyên nhân với một số không nguyên vẫn cho ra kết quả không nguyên, nên \( M \) không phải là số nguyên.

Và từ đó, ta chứng minh được \( M \) không phải là số nguyên.