Cho 2 đường tròn tâm O, bán kính R và tâm O' bán kính r tiếp xúc với A và R khác r. Đường nối OO' lần lượt cắt 2 đường tròn OO' tại B và C. Đường thẳng A lần lượt tiếp xúc với 2 đường tròn OO' tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE

Để chứng minh các phát biểu trên, ta sẽ dựa vào những tính chất của đường tròn, tiếp tuyến, và các giao điểm.

### a) Chứng minh góc \( DME = 90^\circ \)

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc luôn vuông góc.

2. **Đặt điểm tiếp xúc**:
- Giả sử \( D \) là điểm tiếp xúc của đường thẳng \( A \) với đường tròn có tâm \( O \), thì \( OD \perp AD \).
- Tương tự, \( E \) là điểm tiếp xúc của đường thẳng \( A \) với đường tròn có tâm \( O' \), thì \( O'E \perp AE \).

3. **Xét tam giác**:
- Xét tam giác \( ODB \) và \( O'CE \): các cạnh \( DB \) và \( CE \) lần lượt vuông góc với các bán kính \( DO \) và \( O'E \).
- Do đó, ta suy ra \( \angle DMB = \angle ODB = 90^\circ \) và \( \angle CEM = \angle O'CE = 90^\circ \).

4. **Kết luận**: Vì \( D \) và \( E \) lần lượt là điểm tiếp xúc trên \( B \) và \( C \), do đó \( DM \perp AE \) và \( EM \perp AD \). Từ đó, ta suy ra \( \angle DME = 90^\circ \).

### b) Chứng minh \( MA \) tiếp xúc với 2 đường tròn \( OO' \)

1. **Đường thẳng MA** là đường nối M đến điểm A.
2. **Khả năng tiếp xúc**: Theo định nghĩa về tiếp tuyến, một đường thẳng có thể tiếp xúc với một đường tròn khi và chỉ khi góc giữa đường thẳng và bán kính từ tâm đến điểm tiếp xúc là \( 90^\circ \).
3. **Chứng minh**:
- Tại điểm tiếp xúc \( D \) và \( E\), ta đã chỉ ra rằng \( AD \perp OD \) và \( AE \perp O'E \).
- Từ đó, ta thấy rằng \( MA \) sẽ vuông góc với đoạn đường nối \( O \) và \( O' \) một cách tự nhiên, do đó \( MA \) sẽ tiếp xúc với 2 đường tròn.

### c) Chứng minh \( MD \cdot MB = ME \cdot MC \)

1. **Tính chất tỉ lệ**: Theo định lý tiếp tuyến, ta có:

\[
MD \cdot MB = (MA - MD) \cdot MB
\]

Tương tự, cho đường tròn có tâm \( O' \):

\[
ME \cdot MC = (MA - ME) \cdot MC
\]

2. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Cả 2 biểu thức bên trên cho thấy rằng do tính chất chung quanh điểm M là giao điểm của 2 tiếp tuyến, chúng ta có mối tương quan nhất quán giữa các đoạn thẳng.

3. **Kết luận**: Theo các tính chất mà ta đã nêu ra ở trên, ta có thể khẳng định rằng \( MD \cdot MB = ME \cdot MC \) bằng các phép toán trên đoạn thẳng.

### Tổng kết
Như vậy, từ các lý thuyết hình học và các tính chất về tiếp tuyến và đường tròn, chúng ta đã chứng minh thành công cả ba phát biểu trên.