Để chứng minh rằng tứ giác BDCH là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện BD và CH, BC và DH đều song song và bằng nhau.

### Bước 1: Khai thác tính chất của các đường thẳng

1. **Xác định các góc**:
- Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, nghĩa là H nằm trên đường cao của tam giác.
- Do đó, góc \( BAH = 90^\circ \) và góc \( CAH = 90^\circ \).

2. **Vì D là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc**:
- Đường thẳng qua B vuông góc với AB, cho ta góc \( DBC = 90^\circ \) (góc vuông tại B).
- Đường thẳng qua C vuông góc với AC, cho ta góc \( DCA = 90^\circ \) (góc vuông tại C).

### Bước 2: Xác minh các cặp cạnh

3. **Chứng minh BD // CH**:
- Ta có góc \( BDC = 90^\circ \) (góc tại D) và góc \( AHC = 90^\circ \).
- Bởi vì H là trực tâm nên \( AH \) vuông góc với \( BC \) (góc \( AHB = 90^\circ \)).
- Từ đó, ta có \( BD // CH \) (theo định lý góc đồng vị).

4. **Chứng minh BC // DH**:
- Gọi E là giao điểm của đường thẳng AH với BC.
- Hai đường thẳng BC và DH đều song song với nhau vì H thuộc đường cao AH.
- Do đó, ta có \( DH // BC \).

### Bước 3: Bằng nhau các cặp cạnh

5. **Chứng minh BD = CH và BC = DH**
- Do D nằm trên hai đường thẳng vuông góc tại B và C, ta có thể chứng minh bằng phương pháp tương tự rằng:
- BD và CH bằng nhau vì chúng đều là độ dài của đường vuông góc từ hai điểm tới đường thẳng BC.
- BC và DH bằng nhau vì chúng đều là độ dài của các đoạn thẳng từ điểm B đến điểm C và từ điểm D đến điểm H.

### Kết luận

Khi đã chứng minh rằng:
- \( BD // CH \) và \( BC // DH \)
- \( BD = CH \) và \( BC = DH \)

Điều này chứng minh rằng tứ giác BDCH là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau).

Vậy ta có: **BDCH là hình bình hành**.