Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu về tứ giác \( DIKE \) trong tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \).

### a) Tứ giác DIKE là hình gì?

- **Đầu tiên**, chúng ta biết rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- **Thứ hai**, \( D \) là chân đường vuông góc từ \( M \) đến \( AB \) và \( E \) là chân đường vuông góc từ \( M \) đến \( AC \).
- **Thứ ba**, \( I \) và \( K \) là trung điểm của \( MB \) và \( MC \).

Từ các định nghĩa này, ta có:

- \( MD \perp AB \)
- \( ME \perp AC \)

Từ đây ta có thể suy ra rằng:

- Tứ giác \( DIKE \) vụt đảm bảo một số điều kiện:
- \( DI \perp AB \) (vì \( D \) là chân đường vuông góc từ \( M \) đến \( AB \))
- \( KE \perp AC \) (vì \( E \) là chân đường vuông góc từ \( M \) đến \( AC \))

Như vậy, tứ giác \( DIKE \) là một tứ giác điển hình với những đoạn thẳng bắc cầu từ \( D \) đến \( I \) và từ \( E \) đến \( K \).

### b) Điều kiện để \( DIKE \) là hình chữ nhật

Tứ giác \( DIKE \) sẽ là hình chữ nhật nếu:

1. **Cả hai cặp cạnh đối diện đều song song và bằng nhau:**
- Điều này đồng nghĩa với việc sai số giữa \( DI \) và \( EK \).

2. **Có 4 góc vuông:**
- Kết hợp với các cạnh vuông góc được rút ra từ \( D \) và \( E \) phải hội đủ điều kiện vuông góc với nhau.

- Một điều kiện cần thiết là
- Tam giác \( \Delta ABC \) cần có điều kiện là \( M \) phải nằm trên đường tròn đường kính \( AB \) hoặc \( AC \).

Khi đó, tứ giác \( DIKE \) sẽ có tất cả các góc đều là góc vuông, và các cạnh đối diện sẽ bằng nhau, từ đó nó trở thành hình chữ nhật.

Vậy đáp án cho hai câu hỏi là:
- a) Tứ giác \( DIKE \) là một tứ giác vuông.
- b) Để \( DIKE \) là hình chữ nhật, tam giác \( ABC \) cần có điều kiện là \( M \) nằm trên đường tròn đường kính \( AB \) hoặc \( AC \).