Để chứng minh rằng \( \frac{2y'}{x} + y'' = 0 \) với hàm số \( y = -2 + \frac{5}{x} \), chúng ta cần tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số \( y \).

1. **Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \)**:

\[
y' = \frac{d}{dx} \left( -2 + \frac{5}{x} \right) = 0 - 5 \cdot x^{-2} = -\frac{5}{x^2}
\]

2. **Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \)**:

\[
y'' = \frac{d}{dx} \left( -\frac{5}{x^2} \right) = -5 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = \frac{10}{x^3}
\]

3. **Thay vào biểu thức \( \frac{2y'}{x} + y'' \)**:

\[
\frac{2y'}{x} = \frac{2 \cdot \left(-\frac{5}{x^2}\right)}{x} = -\frac{10}{x^3}
\]

\[
y'' = \frac{10}{x^3}
\]

4. **Cộng hai kết quả lại**:

\[
\frac{2y'}{x} + y'' = -\frac{10}{x^3} + \frac{10}{x^3} = 0
\]

Vì vậy, chúng ta có:

\[
\frac{2y'}{x} + y'' = 0
\]

Điều này hoàn tất việc chứng minh.