Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (I; IO)

1. **Gọi I là trung điểm của MN**: Từ định nghĩa trung điểm, ta có \( I = \frac{M + N}{2} \).
2. **Xét góc MON**: Vì \( \angle MON = 90^\circ \), nên \( MO \) vuông góc với \( AN \).
3. **Điểm O thuộc đường tròn**: Xét đường tròn với tâm O và bán kính R, ta biết rằng tiếp tuyến tại một điểm O trong đường tròn luôn vuông góc với bán kính tận cùng tại điểm đó.
4. **Ky thuật chứng minh**: Từ đó, nếu AB là tiếp tuyến thì \( \angle OAB = 90^\circ \).

Theo định nghĩa, \( AB \) vuông góc với bán kính OB tại điểm tiếp xúc, vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (I; IO).

### b) Chứng minh MO là tia phân giác của góc AMN

1. **Xét tam giác AMN**: Gọi góc AMN. Ta có điểm I là trung điểm của MN.
2. **Tia phân giác**: Theo định nghĩa, tia phân giác chia góc AMN thành hai góc bằng nhau. Do \( MO \) vuông góc với \( AN \), vậy \( MO \) là tia phân giác của góc AMN.

### c) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

1. **Chứng minh điều này dựa theo định lý**: Từ phần a), ta đã có AB là tiếp tuyến. Theo định lý về tiếp tuyến và góc vuông, ta có thể nói rằng nếu MN vuông góc với \( AB \), thì nó là tiếp tuyến.
2. **Xa cách AB một khoảng là R**: Thực tế, khoảng cách từ O đến MN là R, vì I là trung điểm của MN.
3. Như vậy, ta khẳng định được MN là tiếp tuyến của đường tròn với đường kính AB.

### Kết luận

Ba phần chứng minh đều cho thấy rằng các yếu tố liên quan đến nửa đường tròn và các đường thẳng tiếp tuyến đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán.