Để giải bài toán hình học này, ta có thể phân tích từng phần một:

1. **Tính góc \( \angle ADC \)**:
- Trong tam giác \( ADC \), ta có:
\[
\angle DAC + \angle DCA + \angle ADC = 180^\circ
\]
Thay giá trị vào:
\[
40^\circ + 50^\circ + \angle ADC = 180^\circ
\]
Tính ra:
\[
\angle ADC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
\]

2. **Chứng minh \( \triangle ABC \cong \triangle ADE \)**:
- Ta biết rằng \( AD = AB \) và \( DC = BC \).
- Ta cũng có \( \angle DAC = 40^\circ \) và \( \angle ADE = 50^\circ \).
- Sử dụng định lý về tam giác cân:
- \( AD = AB \) ⇒ \( \angle ABC = \angle ADE = 50^\circ \)
- \( DC = BC \) ⇒ \( \angle DCA = \angle ACB = 40^\circ \)
- Do đó, \( \triangle ABC \) và \( \triangle ADE \) có hai cạnh tương ứng và một góc giữa tương ứng.

3. **Tính góc trong \( \triangle ABC \)**:
- Trong \( \triangle ABC \), ta có:
\[
\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ
\]
- Thay giá trị vào:
\[
\angle BAC + 50^\circ + 40^\circ = 180^\circ
\]
Tính ra:
\[
\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
\]

Cuối cùng, kết quả là:
- \( \angle ADC = 90^\circ \)
- \( \triangle ABC \cong \triangle ADE \)
- Tính các góc trong \( \triangle ABC \).