Để tìm các giá trị của \( m \) và \( n \) để hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) cắt nhau tại điểm \( I(2, -5) \), chúng ta sẽ lần lượt thay tọa độ của điểm \( I \) vào phương trình của mỗi đường thẳng.

1. **Đường thẳng \( d_1: mx - 2(3n + 2)y = 6 \)**

Thay \( x = 2 \) và \( y = -5 \):
\[
m(2) - 2(3n + 2)(-5) = 6
\]
Rút gọn:
\[
2m + 10(3n + 2) = 6
\]
\[
2m + 30n + 20 = 6
\]
\[
2m + 30n = 6 - 20
\]
\[
2m + 30n = -14
\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[
m + 15n = -7 \quad \text{(1)}
\]

2. **Đường thẳng \( d_2: (3m - 1)x + 2ny = 56 \)**

Thay \( x = 2 \) và \( y = -5 \):
\[
(3m - 1)(2) + 2n(-5) = 56
\]
Rút gọn:
\[
2(3m - 1) - 10n = 56
\]
\[
6m - 2 - 10n = 56
\]
\[
6m - 10n = 56 + 2
\]
\[
6m - 10n = 58 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
m + 15n = -7 \quad (1) \\
6m - 10n = 58 \quad (2)
\end{cases}
\]

Giải phương trình (1) theo \( m \):
\[
m = -7 - 15n
\]

Thay \( m \) vào phương trình (2):
\[
6(-7 - 15n) - 10n = 58
\]
Rút gọn:
\[
-42 - 90n - 10n = 58
\]
\[
-42 - 100n = 58
\]
\[
-100n = 58 + 42
\]
\[
-100n = 100
\]
\[
n = -1
\]

Thay \( n = -1 \) vào phương trình (1) để tìm \( m \):
\[
m + 15(-1) = -7
\]
\[
m - 15 = -7
\]
\[
m = -7 + 15
\]
\[
m = 8
\]

Vậy các giá trị của \( m \) và \( n \) để hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) cắt nhau tại điểm \( I(2, -5) \) là:
\[
m = 8, \quad n = -1
\]