Chứng minh Δ BHD bằng Δ CEK . Từ đó suy ra BC = HK

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết phần c và phần d theo yêu cầu của bạn.

### Phần c: So sánh BC và DE

Để so sánh độ dài của BC và DE, ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác.

1. **Tam giác BHD và CEK:**
- Từ phần a, ta đã chứng minh rằng ΔBHD ∼ ΔCEK (hai tam giác này đồng dạng) nên ta có:
\[
\frac{BH}{CE} = \frac{HD}{EK} = \frac{BD}{CE} \tag{1}
\]

2. **Xem xét các đoạn thẳng:**
- Sử dụng tính đồng dạng, ta có mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của hai tam giác. Vì BD = CE (theo đề bài), từ (1) ta cũng có:
\[
BC = HK \tag{2}
\]
- Hơn nữa, do DH và EK vuông góc với BC, nên chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông BHĐ và CEK để chứng minh mối quan hệ giữa BC và DE.

3. **So sánh BC và DE:**
- Ta có thể thấy rằng trong ΔBHD và ΔCEK, do tính đồng dạng, các cạnh tương ứng tỷ lệ với các đoạn thẳng tương ứng. Do đó:
\[
BC = \sqrt{BH^2 + HD^2} \quad \text{và} \quad DE = \sqrt{CE^2 + EK^2}
\]
- Bởi vì BH = CE và HD = EK, ta suy ra rằng:
\[
BC = DE
\]

**Vậy chúng ta có: BC = DE.**

### Phần d: Chứng minh chu vi của ΔABC < chu vi của ΔADE

1. **Chu vi của tam giác:**
- Chu vi của ΔABC là:
\[
P_{ABC} = AB + AC + BC
\]
- Chu vi của ΔADE là:
\[
P_{ADE} = AD + AE + DE
\]

2. **Tính toán các độ dài:**
- Do ΔABC là tam giác cân tại A nên:
\[
AB = AC
\]
- Thêm vào đó, ta biết rằng DE > BC (theo định lý tam giác, mà ta đã chứng minh BC = DE).
- Việc này xảy ra vì AD > AB, AE > AC và DE > BC (vì DE chạy từ B đến D, qua E đến H, đây là đoạn thẳng dài hơn bất kỳ đoạn thẳng nào trong tam giác A.B.C).

3. **Khẳng định chu vi:**
- Chúng ta có:
\[
P_{ADE} = AD + AE + DE > AB + AC + BC = P_{ABC}
\]
- Suy ra:
\[
P_{ABC} < P_{ADE}
\]

**Kết luận: Chu vi của ΔABC < chu vi của ΔADE.**

Hy vọng rằng giúp ích bạn trong việc giải quyết bài tập này!