Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần:

### a) Tính độ dài BC, AH và số đo các góc B, C.

1. **Tính độ dài BC**:
Sử dụng định lý Pythagore, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay số vào:

\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]

Vậy:

\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài AH**:
Đường cao AH trong tam giác vuông có thể được tính bằng công thức:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Thay vào:

\[
AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính số đo các góc B, C**:
- Sử dụng định nghĩa tang góc:

\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]

Vậy:

\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
\]

- Với góc C:

\[
\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]

Vậy:

\[
C = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ
\]

### b) Chứng minh rằng \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \)

- Trong tam giác vuông, các đoạn AM và AN là các đường cao, theo định lý trực tiếp, ta sẽ có:

\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

vì điểm M và N là chân đường cao từ H và H’ hạ xuống AB và AC.

### c) Chứng minh D là trung điểm của đoạn thẳng BC

- Vì đường thẳng AD vuông góc với MN tại D, và do đặc tính của tam giác vuông, khi kẻ đường thẳng vuông góc từ đỉnh A tới cạnh BC, sẽ chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau. Vậy suy ra D là trung điểm của BC.

Nếu cần thêm chi tiết về từng phần, bạn có thể yêu cầu thêm!