Cho tam giác ADC vuông tại D (DC > DA), đường cao DO. Từ A kẻ đường thẳng Ax vuông góc với AD tại A, Ax cắt tia DO tại B, nối B với C. Từ O kẻ OH ⊥ AB tại H, kẻ OK ⊥ AD tại K. 1) Chứng minh rằng ..

Để chứng minh rằng \( AH \cdot AB = AK \cdot AD \), ta có thể sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Đặt tên cho các yếu tố trong tam giác**:
- Gọi \( D \) là điểm vuông góc của tam giác \( ADC \).
- Ta có đường cao \( DO \) từ \( D \).

2. **Xác định các tam giác vuông**:
- Tam giác \( AHB \) vuông tại \( H \).
- Tam giác \( OKA \) vuông tại \( K \).

3. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Cho tam giác vuông \( AHB \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
- Cho tam giác vuông \( OKA \):
\[
AK^2 = AO^2 + OK^2
\]

4. **Tính toán tỉ số các đoạn thẳng**:
- Xét các tỉ số độ dài:
\[
AH = h_1 \quad (h_1: độ dài đường cao từ A)
\]
\[
AK = h_2 \quad (h_2: độ dài đường cao từ O)
\]

5. **Áp dụng tỉ số diện tích**:
- Diện tích tam giác \( AHB \) có thể tính bằng:
\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]
- Diện tích tam giác \( AOK \) cũng có thể tính bằng:
\[
S_{AOK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AD
\]

6. **Kết luận**:
- Do \( S_{AHB} = S_{AOK} \), ta có:
\[
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AD
\]
- Rút gọn ta có được:
\[
AH \cdot AB = AK \cdot AD
\]

Vậy đã chứng minh được đẳng thức \( AH \cdot AB = AK \cdot AD \).