Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có

Để chứng minh hai đẳng thức được nêu trong tam giác không vuông \(ABC\), ta sẽ sử dụng một vài công thức cơ bản trong tam giác và quan hệ giữa các góc.

### a. Chứng minh \( \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C \)

Trong tam giác \(ABC\), ta có:

\[
C = 180^\circ - A - B
\]

Do đó, ta có thể sử dụng công thức tang của tổng:

\[
\tan C = \tan(180^\circ - A - B) = -\tan(A + B) = -\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
\]

Xét đẳng thức:

\[
\tan A + \tan B + \tan C = \tan A + \tan B - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
\]

Gom lại:

\[
= \tan A + \tan B - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
\]

Đặt \(x = \tan A + \tan B\):

\[
x - \frac{x}{1 - \tan A \tan B} = x \left(1 - \frac{1}{1 - \tan A \tan B}\right)
\]

Tính toán:

\[
= x \left(\frac{(1 - \tan A \tan B) - 1}{1 - \tan A \tan B}\right) = x \left(\frac{-\tan A \tan B}{1 - \tan A \tan B}\right)
\]

Giờ ta có:

\[
= -\frac{(\tan A + \tan B) \tan A \tan B}{1 - \tan A \tan B}
\]

Vì \(C = 180^\circ - A - B\), ta có:

\[
\tan C = -(\tan A + \tan B) \cdot \frac{1}{1 - \tan A \tan B}
\]

Vậy nên:

\[
\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C
\]

### b. Chứng minh \( \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1 \)

Tương tự, ta có:

\[
\cot A + \cot B + \cot C = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C}
\]

Dùng tính chất góc của tam giác:

\[
\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \cdot \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos B}{\sin B} \cdot \frac{\cos C}{\sin C} + \frac{\cos C}{\sin C} \cdot \frac{\cos A}{\sin A}
\]

Khi tính toán biểu thức này sẽ tạo thành dạng:

\[
\frac{\cos A \cos B \sin C + \cos B \cos C \sin A + \cos C \cos A \sin B}{\sin A \sin B \sin C}
\]

Nhận thấy rằng tổng của \(A + B + C = 180^\circ\).

Kết hợp cả hai phần trên, ta thấy rằng trong một tam giác không vuông, hai điều trên đều chứng minh được. Do vậy ta đã có bằng chứng cho cả hai mệnh đề.

### Kết luận
Ta đã chứng minh được rằng trong mọi tam giác \(ABC\) không vuông, có:

1. \( \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \)
2. \( \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1 \)

Chứng minh hoàn tất.