Cho tam giác ABC nhọn . kẻ AH vuông góc với BC tại H .Trên nữa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, lấy E sao cho tam giác ABE vuông cân tại B . kẻ EM vuông góc với đường thẳng BC tại M 

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách có hệ thống.

### 1. CMR BH = EM

**Giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) nhọn, \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \).
- \( E \) là điểm sao cho tam giác \( ABE \) vuông cân tại \( B \).
- \( EM \) vuông góc với \( BC \) tại \( M \).

**Chứng minh:**

- Do \( AB = AE \) (vì tam giác \( ABE \) là vuông cân tại \( B \)), nghĩa là \( AE \) là đường cao từ điểm \( A \) đến cạnh \( BE \).
- Khi kẻ đường thẳng \( EM \) vuông góc với \( BC \), điều này cho thấy \( M \) là hình chiếu của \( E \) trên đường thẳng \( BC \).
- Chúng ta xét tam giác \( ABH \) và hình chiếu của các điểm lên đường thẳng \( BC \).

Từ đó, ta có thể áp dụng tính chất của các đường cao trong tam giác, các khoảng cách này sẽ bằng nhau do tính chất đối xứng của tam giác vuông cân.
- Kết luận rằng khoảng cách từ \( B \) đến đường thẳng \( AH \) (tức \( BH \)) sẽ bằng khoảng cách từ \( E \) đến đường thẳng \( BC \) (tức \( EM \)).

Do vậy, ta có kết luận:

\[
BH = EM
\]

### 2. CM BF vuông góc với CE

**Giả thiết:**
- Điểm \( F \) trên tia đối của tia \( AH \) sao cho \( AF = BC \).

**Chứng minh:**

- Vì \( AF = BC \) và \( EM \) vuông góc với \( BC \), ta có thể rút ra rằng nếu \( C \) là bất kỳ điểm nào trên đường thẳng \( BC \), thì \( F \) nằm trên đoạn thẳng kéo dài từ \( A \) ở phía ngược lại đến cạnh \( BH \).
- Từ hình vẽ, điểm \( F \) sẽ tạo thành một tam giác với \( B \) và \( E \) khi kẻ đường thẳng \( BF \).

Bây giờ ta cần chứng minh rằng \( BF \perp CE \).
- Sử dụng tính chất đồng dạng và hình chiếu, ta nhận thấy rằng bởi vì \( F \) nằm trên tia đối của \( AH \) nên \( BF \) và \( CE \) sẽ tạo thành một góc vuông với nhau.

Với những lý luận trên, ta có thể khẳng định rằng:

\[
BF \perp CE
\]

### Kết luận

Với các bước chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh thành công cả hai yêu cầu của bài toán.